ক) ব্যাসার্ধ ভেক্টর কাকে বলে?
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে।

খ) অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর—ব্যাখ্যা কর।
যে ভেক্টরের পাদবিন্দু বা আদিবিন্দু সুনির্দিষ্ট থাকে, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে। অবস্থান ভেক্টরের ক্ষেত্রে আদিবিন্দু সর্বদা প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুতে নির্দিষ্ট থাকে। যেহেতু এর আদিবিন্দু নিজের ইচ্ছামতো পরিবর্তন করা যায় না, তাই অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

গ) (1, -1, 1) বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{V}$ এর ডাইভারজেন্স নির্ণয় কর।
এখানে, $\vec{V} = 3xyz^2 \hat{i} + 2xy^2 \hat{j} - x^3 y^2 z\hat{k}$
আমরা জানি, ডাইভারজেন্স $\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial}{\partial x}(V_x) + \frac{\partial}{\partial y}(V_y) + \frac{\partial}{\partial z}(V_z)$

$\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial}{\partial x}(3xyz^2) + \frac{\partial}{\partial y}(2xy^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-x^3 y^2 z)$
$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{V} = 3yz^2 + 4xy - x^3 y^2$

$(1, -1, 1)$ বিন্দুতে ডাইভারজেন্স:
$\nabla \cdot \vec{V} = 3(-1)(1)^2 + 4(1)(-1) - (1)^3 (-1)^2$
$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{V} = -3 - 4 - 1$
$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{V} = -8$
অতএব, নির্ণেয় ডাইভারজেন্স -৮।

ঘ) $\vec{A}$ কোনো বৃত্তের ব্যাস নির্দেশ করলে $\vec{B}$ ঐ বৃত্তের পরিধির উপর অঙ্কিত স্পর্শক নির্দেশ করবে কিনা—গাণিতিকভবে ব্যাখ্যাসহ মতামত দাও।
জ্যামিতিক ধর্ম অনুসারে, বৃত্তের পরিধির কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ওই বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ বা ব্যাসের ওপর লম্ব হয়। সুতরাং, যদি $\vec{A}$ (ব্যাস) এবং $\vec{B}$ (স্পর্শক) হয়, তবে তাদের মধ্যবর্তী কোণ ৯০° হতে হবে অর্থাৎ তাদের ডট গুণফল শূন্য হতে হবে।

এখানে,
$\vec{A} = 9\hat{i} + \hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{B} = 4\hat{i} - 6\hat{j} + 5\hat{k}$

ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার বা ডট গুণফল:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (A_x B_x) + (A_y B_y) + (A_z B_z)$
$\Rightarrow \vec{A} \cdot \vec{B} = (9 \times 4) + (1 \times -6) + (-6 \times 5)$
$\Rightarrow \vec{A} \cdot \vec{B} = 36 - 6 - 30$
$\Rightarrow \vec{A} \cdot \vec{B} = 36 - 36$
$\Rightarrow \vec{A} \cdot \vec{B} = 0$

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত:
যেহেতু $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ এর ডট গুণফল শূন্য, সেহেতু ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব। আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাস ও স্পর্শক সর্বদা পরস্পরের ওপর লম্ব থাকে। গাণিতিকভাবে লম্ব হওয়ার শর্ত পূরণ হওয়ায় বলা যায় যে, $\vec{A}$ কোনো বৃত্তের ব্যাস নির্দেশ করলে $\vec{B}$ ওই বৃত্তের স্পর্শক নির্দেশ করবে।