ক) সমরেখ ভেক্টর কী?
দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই সরলরেখা বরাবর বা পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলে।

খ) দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল সমান হতে পারে কি-না? ব্যাখ্যা কর।
হ্যাঁ, দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হতে পারে যদি ভেক্টর দুটি পরস্পরের ওপর লম্ব হয়। ধরি দুটি ভেক্টর $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$। এদের যোগফলের মান $|\vec{P}+\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos\theta}$ এবং বিয়োগফলের মান $|\vec{P}-\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2-2PQ\cos\theta}$। যদি $\theta = 90^{\circ}$ হয়, তবে উভয় ক্ষেত্রেই মান হয় $\sqrt{P^2+Q^2}$। তবে ভেক্টরীয়ভাবে যোগফল ও বিয়োগফল কেবল তখনই সমান হবে যদি একটি ভেক্টর শূন্য (Null vector) হয়।

গ) $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর তলের লম্বদিকে ভেক্টর নির্ণয় কর।
এখানে,
$\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}$

আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের তলের লম্বদিকে ভেক্টর হলো তাদের ক্রস গুণফল।
$\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 1 & -1 & 6 \end{vmatrix}$
$\Rightarrow \vec{C} = \hat{i}(24 - 1) - \hat{j}(18 - (-1)) + \hat{k}(-3 - 4)$
$\Rightarrow \vec{C} = \hat{i}(23) - \hat{j}(19) + \hat{k}(-7)$
$\Rightarrow \vec{C} = 23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}$
অতএব, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর তলের লম্বদিকে একটি ভেক্টর হলো $23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}$।

ঘ) $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে $\vec{C}$ ভেক্টরক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে কি-না? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর।
কোনো বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হলে সেটি তরলের উৎস (Source) হিসেবে কাজ করে।

এখানে, $\vec{C} = 2x^2 yz\hat{i} + y^2 z\hat{j} + x^2 y^2 z^2 \hat{k}$
ডাইভারজেন্স, $\nabla \cdot \vec{C} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 yz) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2 z) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2 y^2 z^2)$
$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{C} = 4xyz + 2yz + 2x^2 y^2 z$

$(2, -1, 2)$ বিন্দুতে ডাইভারজেন্সের মান:
$\nabla \cdot \vec{C} = 4(2)(-1)(2) + 2(-1)(2) + 2(2)^2 (-1)^2 (2)$
$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{C} = -16 - 4 + 2(4)(1)(2)$
$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{C} = -20 + 16$
$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{C} = -4$

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত:
যেহেতু $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে ডাইভারজেন্সের মান ঋণাত্মক ($-4$), সেহেতু ভেক্টরক্ষেত্রটি ওই বিন্দুতে উৎস হিসেবে নয় বরং সিঙ্ক (Sink) হিসেবে কাজ করবে। অর্থাৎ তরল সেখানে সংকুচিত হচ্ছে বা এসে মিলিত হচ্ছে। সুতরাং, ক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে না।