ক) পার্কিং কক্ষপথ কাকে বলে?
যে কক্ষপথে কোনো কৃত্রিম উপগ্রহের আবর্তনকাল পৃথিবীর নিজ অক্ষের চারদিকে আবর্তনকালের সমান হয় এবং ফলে পৃথিবী থেকে একে স্থির মনে হয়, তাকে পার্কিং কক্ষপথ বা ভূ-স্থির কক্ষপথ বলে।

খ) পৃথিবীর অভ্যন্তরে কোনো স্থানের অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর কেন্দ্র হতে দূরত্বের সমানুপাতিক—ব্যাখ্যা কর।
পৃথিবীর অভ্যন্তরে কেন্দ্র হতে $r$ দূরত্বে অভিকর্ষজ ত্বরণের সমীকরণ হলো $g' = \frac{4}{3} \pi \rho G r$। এখানে $\pi, \rho$ (পৃথিবীর গড় ঘনত্ব) এবং $G$ ধ্রুবক। ফলে $g' \propto r$ হয়। অর্থাৎ, পৃথিবীর অভ্যন্তরে যত গভীরতর স্থানে যাওয়া যায় (অর্থাৎ কেন্দ্র হতে দূরত্ব $r$ কমে), অভিকর্ষজ ত্বরণ তত কমতে থাকে এবং কেন্দ্রে গিয়ে শূন্য হয়।

গ) উদ্দীপকে প্রদত্ত উচ্চতায় মহাকর্ষীয় প্রাবল্য নির্ণয় কর।
এখানে,
পৃথিবীর ভর, $M = 6 \times 10^{24}$ kg
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6.4 \times 10^6$ m
উচ্চতা, $h = 1800$ km $= 1.8 \times 10^6$ m
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.67 \times 10^{-11}$ $Nm^2 kg^{-2}$

আমরা জানি, উচ্চতায় মহাকর্ষীয় প্রাবল্য ($E$):
$E = \frac{GM}{(R+h)^2}$
$\Rightarrow E = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(6.4 \times 10^6 + 1.8 \times 10^6)^2}$
$\Rightarrow E = \frac{4.002 \times 10^{14}}{(8.2 \times 10^6)^2}$
$\Rightarrow E = \frac{4.002 \times 10^{14}}{6.724 \times 10^{13}}$
$\Rightarrow E \approx 5.95$ $N/kg$ (বা $ms^{-2}$)
অতএব, উক্ত উচ্চতায় মহাকর্ষীয় প্রাবল্য ৫.৯৫ $N/kg$।

ঘ) কৃত্রিম উপগ্রহটি ভূ-পৃষ্ঠে ফিরে আসবে কি-না—গাণিতিকভবে বিশ্লেষণ কর।
কোনো কৃত্রিম উপগ্রহ নির্দিষ্ট উচ্চতায় স্থায়ীভাবে আবর্তন করতে হলে তার জন্য প্রয়োজনীয় কক্ষীয় বেগের ($v_c$) সমান বেগ থাকা প্রয়োজন। যদি উপগ্রহের বর্তমান বেগ কক্ষীয় বেগের চেয়ে কম হয়, তবে সেটি পৃথিবীর আকর্ষণে ভূ-পৃষ্ঠে ফিরে আসবে।

এখানে,
$R+h = 8.2 \times 10^6$ m

প্রদত্ত উচ্চতায় প্রয়োজনীয় কক্ষীয় বেগ ($v_c$):
$v_c = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
$\Rightarrow v_c = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{8.2 \times 10^6}}$
$\Rightarrow v_c = \sqrt{\frac{4.002 \times 10^{14}}{8.2 \times 10^6}}$
$\Rightarrow v_c = \sqrt{48804878.05}$
$\Rightarrow v_c \approx 6986.05$ $ms^{-1}$

উদ্দীপকে কৃত্রিম উপগ্রহটির বর্তমান বেগ, $v = 7.1$ $ms^{-1}$।

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত:
দেখা যাচ্ছে যে, উপগ্রহটির বর্তমান বেগ ($v = 7.1$ $ms^{-1}$) উক্ত উচ্চতায় নির্দিষ্ট কক্ষপথে আবর্তনের জন্য প্রয়োজনীয় কক্ষীয় বেগের ($v_c \approx 6986.05$ $ms^{-1}$) তুলনায় অত্যন্ত কম। যেহেতু এর বেগ পৃথিবীর প্রবল অভিকর্ষ টানকে অতিক্রম করে কক্ষপথে টিকে থাকার জন্য যথেষ্ট নয়, সেহেতু কৃত্রিম উপগ্রহটি পৃথিবীতে ফিরে আসবে।