ক) দশা কাকে বলে?
সরল ছন্দিত স্পন্দন গতিতে চলমান কোনো কণার যেকোনো মুহূর্তের গতির সম্যক অবস্থাকে (যেমন: অবস্থান, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদি) তার দশা বলে।

খ) মহাশূন্যচারীরা নিজেকে কেন ওজনহীন মনে করেন? ব্যাখ্যা কর।
ওজনহীনতা কোনো বস্তুর ওপর অভিকর্ষজ বলের অনুপস্থিতি নয়, বরং প্রতিক্রিয়া বলের অনুপস্থিতি। মহাশূন্যচারীরা যখন পৃথিবীকে কেন্দ্র করে বৃত্তাকার কক্ষপথে পরিভ্রমণ করেন, তখন তাদের ওপর ক্রিয়াশীল অভিকর্ষজ বল প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল যোগান দেয়। ফলে মহাশূন্যযান এবং মহাশূন্যচারী উভয়েই একই ত্বরণে (মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর মতো) পৃথিবীর দিকে পড়তে থাকে। এই অবস্থায় মহাশূন্যযানের মেঝে মহাশূন্যচারীর ওপর কোনো প্রতিক্রিয়া বল প্রয়োগ করতে পারে না, তাই তিনি নিজেকে ওজনহীন মনে করেন।

গ) উদ্দীপক অনুসারে বস্তুটির সর্বোচ্চ বেগ নির্ণয় কর।
এখানে,
বস্তুর ভর, $m = 400$ g $= 0.4$ kg
সরণ (সাম্যাবস্থা থেকে), $x = 12$ cm $= 0.12$ m
বিস্তার, $A = 8$ cm $= 0.08$ m
অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.81$ $ms^{-2}$

আমরা জানি, সাম্যাবস্থায় $mg = kx$
$\Rightarrow k = \frac{mg}{x}$
$\Rightarrow k = \frac{0.4 \times 9.81}{0.12}$
$\Rightarrow k = 32.7$ $N/m$

কৌণিক কম্পাঙ্ক, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
$\Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{32.7}{0.4}} \approx 9.0416$ rad/s

সর্বোচ্চ বেগ, $v_{max} = \omega A$
$\Rightarrow v_{max} = 9.0416 \times 0.08$
$\Rightarrow v_{max} \approx 0.7233$ $ms^{-1}$
অতএব, বস্তুটির সর্বোচ্চ বেগ ০.৭২৩৩ $ms^{-1}$।

ঘ) উদ্দীপকের স্প্রিংটির দোলন যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা মেনে চলে কি? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখাও।
যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা অনুসারে, স্পন্দনরত কোনো বস্তুর যেকোনো অবস্থানে মোট শক্তি (বিভব শক্তি ও গতিশক্তির সমষ্টি) ধ্রুব থাকে।

এখানে, $k = 32.7$ $N/m$ এবং $A = 0.08$ m।

সাম্যাবস্থানে (x = 0):
এই অবস্থানে সমস্ত শক্তিই গতিশক্তি।
বিভব শক্তি, $E_{p1} = \frac{1}{2} k(0)^2 = 0$
গতিশক্তি, $E_{k1} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (0.7233)^2 \approx 0.1046$ J
মোট শক্তি, $E_1 = E_{p1} + E_{k1} = 0.1046$ J

সর্বোচ্চ প্রসারণে বা প্রান্তে (x = A = 0.08 m):
এই অবস্থানে বেগ শূন্য, ফলে সমস্ত শক্তিই বিভব শক্তি।
বিভব শক্তি, $E_{p2} = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times 32.7 \times (0.08)^2$
$\Rightarrow E_{p2} = 0.10464$ J
গতিশক্তি, $E_{k2} = 0$ (যেহেতু বেগ শূন্য)
মোট শক্তি, $E_2 = E_{p2} + E_{k2} = 0.10464$ J

যেকোনো অবস্থানে (ধরি, x = 0.04 m):
বিভব শক্তি, $E_{p3} = \frac{1}{2} \times 32.7 \times (0.04)^2 = 0.02616$ J
গতিশক্তি, $E_{k3} = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2) = \frac{1}{2} \times 32.7 \times (0.08^2 - 0.04^2)$
$\Rightarrow E_{k3} = 16.35 \times (0.0064 - 0.0016) = 0.07848$ J
মোট শক্তি, $E_3 = 0.02616 + 0.07848 = 0.10464$ J

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত:
দেখা যাচ্ছে যে, $E_1 = E_2 = E_3$। অর্থাৎ সাম্যাবস্থান, প্রান্তবিন্দু বা মধ্যবর্তী যেকোনো অবস্থানে স্প্রিং-টির মোট যান্ত্রিক শক্তি সর্বদা স্থির থাকে। সুতরাং স্প্রিংটির দোলন যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা মেনে চলে।