ক-এর উত্তর:
ধরি, $Z = 8 - 4\sqrt{-5} = 8 - 4\sqrt{5}i$
বা, $Z = 10 - 2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2}i$
বা, $Z = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{2}i)^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2}i$ [যেহেতু $(\sqrt{2}i)^2 = -2$]
বা, $Z = (\sqrt{10} - \sqrt{2}i)^2$
$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \pm (\sqrt{10} - \sqrt{2}i)$।
খ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১ হতে, $m = a\omega^2 + c\omega$ এবং $n = a\omega + c\omega^2$ [যেহেতু $\omega^4 = \omega$]
দেওয়া আছে, $m^3 + n^3 = 0$
বা, $(m + n)(m^2 - mn + n^2) = 0$
বা, $(m + n)(m + \omega n)(m + \omega^2 n) = 0$
১ম অংশ: $m + n = a(\omega^2 + \omega) + c(\omega + \omega^2) = (a + c)(-1)$ [যেহেতু $1 + \omega + \omega^2 = 0$]
$m + n = 0 \implies -(a + c) = 0 \implies a + c = 0$।
২য় অংশ: $m + \omega n = (a\omega^2 + c\omega) + \omega(a\omega + c\omega^2) = a\omega^2 + c\omega + a\omega^2 + c\omega^3$
$= 2a\omega^2 + c(\omega + 1) = 2a\omega^2 - c\omega^2 = \omega^2(2a - c)$
$m + \omega n = 0 \implies \omega^2(2a - c) = 0 \implies 2a = c$।
৩য় অংশ: $m + \omega^2 n = (a\omega^2 + c\omega) + \omega^2(a\omega + c\omega^2) = a\omega^2 + c\omega + a\omega^3 + c\omega^4$
$= a(\omega^2 + 1) + 2c\omega = -a\omega + 2c\omega = \omega(2c - a)$
$m + \omega^2 n = 0 \implies \omega(2c - a) = 0 \implies a = 2c$।
$\therefore a + c = 0$ অথবা $2a = c$ অথবা $a = 2c$ (প্রমাণিত)।
গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-২ হতে, $(1 + y)^m = b_0 + b_1 y + b_2 y^2 + \dots + b_m y^m$
$y = 1$ বসিয়ে পাই, $(1 + 1)^m = b_0 + b_1 + b_2 + \dots + b_m \implies 2^m = \sum_{r=0}^{m} b_r$ --- (i)
আবার, $y = i$ বসিয়ে পাই, $(1 + i)^m = b_0 + b_1 i + b_2 i^2 + b_3 i^3 + b_4 i^4 + \dots$
বা, $(1 + i)^m = (b_0 - b_2 + b_4 - \dots) + i(b_1 - b_3 + b_5 - \dots)$
ধরি, $A = b_0 - b_2 + b_4 - \dots$ এবং $B = b_1 - b_3 + b_5 - \dots$
$\therefore (1 + i)^m = A + iB$
উভয়পক্ষের পরমমান বা মডুলাস বর্গ করে পাই:
$|1 + i|^{2m} = |A + iB|^2$
বা, $(\sqrt{1^2 + 1^2})^{2m} = A^2 + B^2$
বা, $(\sqrt{2})^{2m} = A^2 + B^2 \implies 2^m = A^2 + B^2$
(i) নং হতে পাই, $A^2 + B^2 = b_0 + b_1 + b_2 + \dots + b_m = 2^m$
$\therefore (b_0 - b_2 + b_4 - \dots)^2 + (b_1 - b_3 + b_5 - \dots)^2 = b_0 + b_1 + b_2 + \dots + b_m = 2^m$ (দেখানো হলো)।