ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x^{3} - 6x^{2} + 21x - 26 = 0$
যেহেতু জটিল মূলগুলো যুগল হিসেবে থাকে, তাই একটি মূল $2 + 3i$ হলে অপর একটি মূল হবে $2 - 3i$।
মূলদ্বয়ের যোগফল $= (2 + 3i) + (2 - 3i) = 4$
মূলদ্বয়ের গুণফল $= (2 + 3i)(2 - 3i) = 2^{2} - (3i)^{2} = 4 + 9 = 13$
$\therefore$ এই মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত উৎপাদক: $x^{2} - 4x + 13$
এখন ভাগ প্রক্রিয়ায় পাই:
$x^{3} - 6x^{2} + 21x - 26 = (x - 2)(x^{2} - 4x + 13) = 0$
$\therefore$ তৃতীয় মূলটি হলো $x - 2 = 0 \implies x = 2$
সুতরাং, অপর মূল দুইটি হলো $2 - 3i$ এবং $2$।

খ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ: $x^{2} + ax + \frac{1}{4}(a^{2} - b^{2}) = 0$
এর মূল দুইটি $\alpha$ ও $\beta$ হলে,
$\alpha + \beta = -a$ --- (i)
$\alpha \beta = \frac{1}{4}(a^{2} - b^{2})$ --- (ii)
আমরা জানি, $(\alpha - \beta)^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 4\alpha \beta = (-a)^{2} - 4 \cdot \frac{1}{4}(a^{2} - b^{2}) = a^{2} - a^{2} + b^{2} = b^{2}$
$\therefore \alpha - \beta = \pm b$ --- (iii)
এখন, নতুন মূল দুইটি হলো $(\alpha + \beta)$ এবং $(\alpha - \beta)$।
মূলদ্বয়ের যোগফল $= -a \pm b = -(a \mp b)$
মূলদ্বয়ের গুণফল $= (-a)(\pm b) = \mp ab$
$\therefore$ সমীকরণটি হবে: $x^{2} - (যোগফল)x + (গুণফল) = 0$
বা, $x^{2} + (a \mp b)x \mp ab = 0$
যা সংক্ষেপে, $x^{2} + (a \pm b)x \pm ab = 0$ (প্রমাণিত)।

গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণদ্বয়: $mx^{2} + 2x + 1 = 0$ --- (i) এবং $x^{2} + 2x + m = 0$ --- (ii)
যেহেতু সাধারণ মূল $\alpha$, সেহেতু:
$m\alpha^{2} + 2\alpha + 1 = 0$
$\alpha^{2} + 2\alpha + m = 0$
বিয়োগ করে পাই, $(m - 1)\alpha^{2} + (1 - m) = 0$
বা, $(m - 1)\alpha^{2} = (m - 1)$
হয় $m - 1 = 0 \implies m = 1$।
অথবা, $m - 1 \neq 0$ হলে, $\alpha^{2} = 1 \implies \alpha = \pm 1$।
$\alpha = 1$ হলে (ii) নং সমীকরণ হতে পাই: $1^{2} + 2(1) + m = 0 \implies m = -3$।
$\alpha = -1$ হলে (ii) নং সমীকরণ হতে পাই: $(-1)^{2} + 2(-1) + m = 0 \implies m = 1$।
$\therefore m$ এর মান $1$ অথবা $-3$ (দেখানো হলো)।