ক-এর উত্তর:
ধরি, এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$।
$\therefore \omega^2 = (\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2})^2 = \frac{1 - 3 - 2\sqrt{3}i}{4} = \frac{-2 - 2\sqrt{3}i}{4} = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$
এখন, $\omega \cdot \omega^2 = (\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2})(\frac{-1 - \sqrt{3}i}{2})$
বা, $\omega^3 = \frac{(-1)^2 - (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{1 - (-3)}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$\therefore \omega^3 = 1$ (দেখানো হলো)।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $f(p) = 2p + \sqrt{3}i + 1 = 0 \implies p = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} = \omega^2$
এবং $h(q) = 2q - \sqrt{3}i + 1 = 0 \implies q = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = \omega$
$\therefore p^n + q^n = (\omega^2)^n + \omega^n = \omega^{2n} + \omega^n$

১. যদি $n, 3$ দ্বারা বিভাজ্য হয় (ধরি $n = 3k$):
$p^n + q^n = \omega^{6k} + \omega^{3k} = (\omega^3)^{2k} + (\omega^3)^k = 1^{2k} + 1^k = 1 + 1 = 2$।
২. যদি $n$ অন্য পূর্ণ সংখ্যা হয় (ধরি $n = 3k+1$ বা $3k+2$):
উভয় ক্ষেত্রেই রাশিটির মান $\omega^2 + \omega = -1$ হয় [যেহেতু $1 + \omega + \omega^2 = 0$]।
$\therefore p^n + q^n = 2$ অথবা $-1$ (দেখানো হলো)।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $g(x) = x + 1$ এবং $z = p + iq$।
$\therefore g(z-1) = (p + iq - 1) + 1 = p + iq$
এবং $g(z+1) = (p + iq + 1) + 1 = (p + 2) + iq$
শর্তমতে, $|p + iq| + |(p + 2) + iq| = 5$
বা, $\sqrt{p^2 + q^2} + \sqrt{(p + 2)^2 + q^2} = 5$
বা, $\sqrt{(p + 2)^2 + q^2} = 5 - \sqrt{p^2 + q^2}$
বর্গ করে, $(p + 2)^2 + q^2 = 25 + p^2 + q^2 - 10\sqrt{p^2 + q^2}$
বা, $p^2 + 4p + 4 = 25 + p^2 - 10\sqrt{p^2 + q^2} \implies 4p - 21 = -10\sqrt{p^2 + q^2}$
আবার বর্গ করে, $16p^2 - 168p + 441 = 100(p^2 + q^2)$
বা, $84p^2 + 100q^2 + 168p - 441 = 0$
এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।