ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 - kx + (k + 3) = 0$
সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে যদি এর পৃথায়ক $D < 0$ হয়।
এখানে, $D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k + 3)$
শর্তমতে, $k^2 - 4k - 12 < 0$
বা, $(k - 6)(k + 2) < 0$
$\therefore -2 < k < 6$
সুতরাং, $k$ এর মান $-2$ অপেক্ষা বড় এবং $6$ অপেক্ষা ছোট।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $x^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের একটি মূল $\alpha + \sqrt{\beta}$।
যেহেতু মূলগুলো অমূলদ যুগলে থাকে, তাই অপর মূলটি হবে $\alpha - \sqrt{\beta}$।
মূলদ্বয়ের যোগফল, $2\alpha = -b \implies \alpha = -b/2$
মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha^2 - \beta = c \implies \beta = \alpha^2 - c = (-b/2)^2 - c = (b^2 - 4c)/4$

নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয় $1/\alpha \pm 1/\sqrt{\beta}$।
মূলদ্বয়ের যোগফল $S = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\sqrt{\beta}} + \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\sqrt{\beta}} = \frac{2}{\alpha} = \frac{2}{-b/2} = -\frac{4}{b}$
মূলদ্বয়ের গুণফল $P = (\frac{1}{\alpha})^2 - (\frac{1}{\sqrt{\beta}})^2 = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{\beta} = \frac{4}{b^2} - \frac{4}{b^2 - 4c} = \frac{4(b^2 - 4c) - 4b^2}{b^2(b^2 - 4c)} = \frac{-16c}{b^2(b^2 - 4c)}$

সমীকরণটি হবে: $x^2 - Sx + P = 0$
বা, $x^2 + \frac{4}{b}x - \frac{16c}{b^2(b^2 - 4c)} = 0$
বা, $b^2(b^2 - 4c)x^2 + 4b(b^2 - 4c)x - 16c = 0$
বা, $(b^2 - 4c)(b^2x^2 + 4bx) - 16c = 0$ (প্রমাণিত)

গ-এর উত্তর:
ধরি, (i) ও (ii) নং সমীকরণের সাধারণ মূলটি $\gamma$।
$\therefore \gamma^2 + b\gamma + c = 0$ --- (iii)
এবং $c\gamma^2 + b\gamma + 1 = 0$ --- (iv)

বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$\frac{\gamma^2}{b - bc} = \frac{\gamma}{c^2 - 1} = \frac{1}{b - bc}$
বা, $\frac{\gamma^2}{b(1 - c)} = \frac{\gamma}{(c - 1)(c + 1)} = \frac{1}{b(1 - c)}$

প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত হতে, $\gamma^2 = 1 \implies \gamma = \pm 1$
দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত হতে, $\gamma = \frac{(c - 1)(c + 1)}{b(1 - c)} = -\frac{(1 - c)(c + 1)}{b(1 - c)} = -\frac{c + 1}{b}$

এখন $\gamma$ এর মান বসালে পাই:
$\pm 1 = -\frac{c + 1}{b}$
বা, $b = \mp (c + 1)$
বর্গ করে পাই, $b^2 = (c + 1)^2$
$\therefore (c + 1)^2 = b^2$ (প্রমাণিত)