ক-এর উত্তর:
ধরি, $z = 2 - 2\sqrt{3}i = 2(1 - \sqrt{3}i)$
বা, $z = 3 - 2\sqrt{3}i - 1 = (\sqrt{3})^{2} - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot i + i^{2}$ [যেহেতু $i^{2} = -1$]
বা, $z = (\sqrt{3} - i)^{2}$
$\therefore \sqrt{2 - 2\sqrt{3}i} = \pm(\sqrt{3} - i)$

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $f(x) = x - 6$ এবং $z = p + iq$
$\therefore f(z + 9) = (p + iq + 9) - 6 = (p + 3) + iq$
এবং $f(z + 3) = (p + iq + 3) - 6 = (p - 3) + iq$

শর্তমতে, $|(p + 3) + iq| - |(p - 3) + iq| = 4$
বা, $\sqrt{(p + 3)^{2} + q^{2}} - \sqrt{(p - 3)^{2} + q^{2}} = 4$
বা, $\sqrt{(p + 3)^{2} + q^{2}} = 4 + \sqrt{(p - 3)^{2} + q^{2}}$
বর্গ করে পাই, $(p + 3)^{2} + q^{2} = 16 + (p - 3)^{2} + q^{2} + 8\sqrt{(p - 3)^{2} + q^{2}}$
বা, $p^{2} + 6p + 9 = 16 + p^{2} - 6p + 9 + 8\sqrt{(p - 3)^{2} + q^{2}}$
বা, $12p - 16 = 8\sqrt{(p - 3)^{2} + q^{2}}$
বা, $3p - 4 = 2\sqrt{(p - 3)^{2} + q^{2}}$ [4 দ্বারা ভাগ করে]
আবার বর্গ করে পাই, $9p^{2} - 24p + 16 = 4(p^{2} - 6p + 9 + q^{2})$
বা, $9p^{2} - 24p + 16 = 4p^{2} - 24p + 36 + 4q^{2}$
বা, $5p^{2} - 4q^{2} = 20$
বা, $\frac{p^{2}}{4} - \frac{q^{2}}{5} = 1$
এটি একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।

গ-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x^{2} - ix - 1 = 0$
মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে, $\alpha + \beta = -(-i)/1 = i$ এবং $\alpha\beta = -1/1 = -1$
আমরা জানি, $(\alpha + \beta)^{2} = i^{2} \implies \alpha^{2} + \beta^{2} + 2\alpha\beta = -1$
বা, $\alpha^{2} + \beta^{2} + 2(-1) = -1 \implies \alpha^{2} + \beta^{2} = 1$

এখন, $\alpha^{6} + \beta^{6} = (\alpha^{2})^{3} + (\beta^{2})^{3}$
$= (\alpha^{2} + \beta^{2})^{3} - 3\alpha^{2}\beta^{2}(\alpha^{2} + \beta^{2})$
$= (1)^{3} - 3(\alpha\beta)^{2}(1)$
$= 1 - 3(-1)^{2} = 1 - 3 = -2$
$\therefore \alpha^{6} + \beta^{6} = -2$ (দেখানো হলো)