ক-এর উত্তর:
ধরি, বলদ্বয় $P$ ও $Q$ এবং লব্ধি $R$।
প্রশ্নমতে, $R \perp P$ এবং $R = \frac{1}{3}Q$।
আমরা জানি, $\tan 90^\circ = \frac{Q \sin \alpha}{P + Q \cos \alpha} \implies P + Q \cos \alpha = 0$
বা, $\cos \alpha = -P/Q$ --- (i)
আবার, $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha$
বা, $(Q/3)^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ(-P/Q)$ [(i) হতে]
বা, $Q^2/9 = Q^2 - P^2 \implies P^2 = 8Q^2/9$
$\therefore P/Q = \sqrt{8}/3 = 2\sqrt{2}/3$
সুতরাং, বলদ্বয়ের অনুপাত $2\sqrt{2} : 3$।

খ-এর উত্তর:
ধরি, $U$ ও $V$ এর অন্তর্গত কোণ $2\theta$। প্রশ্নমতে, $U$ ও $W$ এর অন্তর্গত কোণ $\theta$।
যেহেতু বল তিনটি ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে, সেহেতু $V$ ও $W$ এর মধ্যবর্তী কোণ $= 360^\circ - (2\theta + \theta) = 360^\circ - 3\theta$।
লামীর উপপাদ্য হতে পাই,
$\frac{U}{\sin(360^\circ - 3\theta)} = \frac{V}{\sin\theta} = \frac{W}{\sin 2\theta}$
বা, $\frac{U}{-\sin 3\theta} = \frac{V}{\sin\theta} = \frac{W}{2sin\theta \cos\theta}$
বা, $\frac{U}{-(3sin\theta - 4sin^3\theta)} = \frac{V}{\sin\theta} \implies V = \frac{U}{4sin^2\theta - 3}$
আবার, $\frac{V}{\sin\theta} = \frac{W}{2sin\theta \cos\theta} \implies \cos\theta = \frac{W}{2V}$
আমরা জানি, $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{W^2}{4V^2} = \frac{4V^2 - W^2}{4V^2}$
$V$ এর সমীকরণে মান বসিয়ে পাই, $V = \frac{U}{4(\frac{4V^2 - W^2}{4V^2}) - 3} = \frac{UV^2}{4V^2 - W^2 - 3V^2}$
বা, $1 = \frac{UV}{V^2 - W^2} \implies V^2 - W^2 = UV$ (প্রমাণিত)।

গ-এর উত্তর:
পরিকেন্দ্র $O$ হতে $R$ বলটি $CO$ বরাবর ক্রিয়াশীল। $A$ ও $B$ বিন্দুতে $R$ এর সমান্তরাল অংশক যথাক্রমে $P$ ও $Q$ হলে,
সমান্তরাল বলের নীতি অনুসারে, $P \times (A হতে CO এর লম্ব দূরত্ব) = Q \times (B হতে CO এর লম্ব দূরত্ব)$
ধরি, $CO$ রেখা $AB$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, $P \cdot AD \sin \angle ADC = Q \cdot BD \sin \angle BDC$
বা, $P/Q = BD/AD$ [যেহেতু $\sin \angle ADC = \sin \angle BDC$]
ত্রিভুজ $ABC$ এ $CD$ রেখা $C$ কোণকে $\angle ACD$ ও $\angle BCD$ কোণে বিভক্ত করলে,
$BD/AD = \frac{a \sin \angle BCD}{b \sin \angle ACD}$
পরিকেন্দ্রের ধর্মমতে, $\angle BCD = 90^\circ - A$ এবং $\angle ACD = 90^\circ - B$
$\therefore P/Q = \frac{2R \sin A \cdot \sin(90^\circ - A)}{2R \sin B \cdot \sin(90^\circ - B)} = \frac{\sin A \cos A}{\sin B \cos B}$
বা, $P/Q = \frac{2 \sin A \cos A}{2 \sin B \cos B} = \frac{\sin 2A}{\sin 2B}$
$\therefore P : Q = \sin 2A : \sin 2B$ (দেখানো হলো)।