ক-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, বলদ্বয় $P = 7 N$, $Q = 8 N$ এবং মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 120^\circ$।
আমরা জানি, লব্ধি $R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha}$
বা, $R = \sqrt{7^2 + 8^2 + 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ}$
বা, $R = \sqrt{49 + 64 + 112 \cdot (-0.5)}$
বা, $R = \sqrt{113 - 56} = \sqrt{57}$
$\therefore R \approx 7.55 N$

খ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১ এ $DEF$ ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্রে $I$ বিন্দুতে $P, Q, R$ বলত্রয় ভারসাম্য সৃষ্টি করে।
লামীর উপপাদ্য অনুসারে, $\frac{P}{\sin \angle EIF} = \frac{Q}{\sin \angle FID} = \frac{R}{\sin \angle DIE}$ --- (i)

আমরা জানি, অন্তঃকেন্দ্রের ক্ষেত্রে $\angle EIF = 180^\circ - \frac{1}{2}(E+F) = 180^\circ - (90^\circ - D/2) = 90^\circ + D/2$।
একইভাবে, $\angle FID = 90^\circ + E/2$ এবং $\angle DIE = 90^\circ + F/2$।

এখন (i) নং এ মান বসিয়ে পাই,
$\frac{P}{\sin(90^\circ + D/2)} = \frac{Q}{\sin(90^\circ + E/2)} = \frac{R}{\sin(90^\circ + F/2)}$
বা, $\frac{P}{\cos(D/2)} = \frac{Q}{\cos(E/2)} = \frac{R}{\cos(F/2)}$
$\therefore P : Q : R = \cos \frac{D}{2} : \cos \frac{E}{2} : \cos \frac{F}{2}$ (প্রমাণিত)

গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-২ এ $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল। তাদের লব্ধি $R = P+Q$ ধরি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
সমান্তরাল বলের সূত্রমতে, $P \cdot AC = Q \cdot BC$
বা, $P \cdot AC = Q \cdot (AB - AC) \implies AC = \frac{Q \cdot AB}{P+Q}$ --- (ii)

এখন, $A$ বিন্দুর বলটি $D$ বিন্দুতে (x দূরত্বে) সরানো হলো। ফলে নতুন লব্ধি $C'$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
$\therefore P \cdot DC' = Q \cdot BC'$
বা, $P \cdot (AC' - x) = Q \cdot (AB - AC')$
বা, $(P+Q) AC' = Q \cdot AB + Px \implies AC' = \frac{Q \cdot AB + Px}{P+Q}$ --- (iii)

লব্ধির সরণ $d = CC' = AC' - AC$
(ii) ও (iii) হতে মান বসিয়ে,
$d = \frac{Q \cdot AB + Px}{P+Q} - \frac{Q \cdot AB}{P+Q} = \frac{Px}{P+Q}$
$\therefore d = \frac{Px}{P+Q}$ (প্রমাণিত)