(ক) সংরক্ষণশীল বল কী?
যে বলের অধীনে কোনো বস্তুকে যেকোনো পথে ঘুরিয়ে পুনরায় আদি অবস্থানে ফিরিয়ে আনলে বল দ্বারা সম্পাদিত মোট কাজের পরিমাণ শূন্য হয়, তাকে সংরক্ষণশীল বল বলে।

(খ) বল ও সরণ শূন্য না হলেও কাজ শূন্য হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।
হ্যাঁ, বল ও সরণ শূন্য না হলেও কাজ শূন্য হতে পারে। কাজের গাণিতিক সংজ্ঞা হলো $W = Fs \cos\theta$। যদি বল ($F$) এবং সরণের ($s$) মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 90^\circ$ হয়, তবে $\cos 90^\circ = 0$ হওয়ায় কৃত কাজ শূন্য হবে। উদাহরণস্বরূপ, কোনো ব্যক্তি বোঝা হাতে নিয়ে অণুভূমিক পথে হাঁটলে অভিকর্ষ বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$ হওয়ায় অভিকর্ষ বল দ্বারা কৃত কাজ শূন্য হয়।

(গ) স্প্রিংটি 2.5 cm প্রসারিত করলে এতে সঞ্চিত বিভবশক্তি নির্ণয় কর।
এখানে,
স্প্রিং ধ্রুবক, $K = 120$ $Nm^{-1}$
সরণ বা প্রসারণ, $x = 2.5$ cm = $0.025$ m

আমরা জানি, স্প্রিং-এ সঞ্চিত বিভবশক্তি, $E_p = \frac{1}{2} Kx^2$
বা, $E_p = \frac{1}{2} \times 120 \times (0.025)^2$
বা, $E_p = 60 \times 0.000625$
বা, $E_p = 0.0375$ J
$\therefore$ সঞ্চিত বিভবশক্তি ০.০৩৭৫ জুল।

(ঘ) উদ্দীপকে স্প্রিং বলটি কি সংরক্ষণশীল বল? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর।
একটি বলকে সংরক্ষণশীল হতে হলে পূর্ণচক্রে (সংকোচন ও আদি অবস্থায় প্রত্যাবর্তন) মোট কাজের পরিমাণ শূন্য হতে হবে।

এখানে, সংকোচনের পরিমাণ $x = 5$ cm = $0.05$ m।

১ম ক্ষেত্রে (সংকোচনের সময় কৃত কাজ):
স্প্রিং বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হলে, $W_1 = \int_0^x Kx \, dx = \frac{1}{2} Kx^2$
বা, $W_1 = \frac{1}{2} \times 120 \times (0.05)^2 = 60 \times 0.0025 = 0.15$ J
যেহেতু এটি স্প্রিং বলের বিপরীতে, তাই স্প্রিং বল দ্বারা কৃত কাজ $W_{s1} = -0.15$ J।

২য় ক্ষেত্রে (আদি অবস্থায় ফিরে আসার সময় কৃত কাজ):
স্প্রিংটি $x$ অবস্থান থেকে $0$ অবস্থানে ফিরে আসে।
এক্ষেত্রে স্প্রিং বল দ্বারা কৃত কাজ $W_{s2} = \int_x^0 (-Kx) \, dx = [-\frac{1}{2} Kx^2]_x^0 = 0 - (-\frac{1}{2} Kx^2) = \frac{1}{2} Kx^2$
বা, $W_{s2} = 0.15$ J।

পূর্ণচক্রে মোট কাজ:
$W_{total} = W_{s1} + W_{s2} = -0.15 + 0.15 = 0$ J

গাণিতিক বিশ্লেষণ:
যেহেতু স্প্রিংটিকে সংকুচিত করে পুনরায় আদি অবস্থায় ফিরিয়ে আনতে স্প্রিং বল দ্বারা সম্পাদিত মোট কাজের পরিমাণ শূন্য হয়েছে, তাই স্প্রিং বলটি একটি সংরক্ষণশীল বল।