(ক) কৌণিক ভরবেগ কাকে বলে?
ঘূর্ণনরত কোনো বস্তুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর এবং রৈখিক ভরবেগের ভেক্টর গুণফলকে ওই বস্তুর কৌণিক ভরবেগ বলে। একে $\vec{L}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

(খ) বাঁকা পথে অতি দ্রুতগামী গাড়ি উল্টে যায় কেন? ব্যাখ্যা কর।
গাড়ি যখন বাঁকা পথে চলে, তখন তার গতির দিক পরিবর্তনের জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বলের প্রয়োজন হয়। যদি গাড়িটি অতি দ্রুতগামী হয়, তবে চাকা ও রাস্তার ঘর্ষণ বল থেকে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল পাওয়া সম্ভব হয় না। এই অবস্থায় গাড়িটি রাস্তার বাঁকের বাইরের দিকে ছিটকে যাওয়ার বা উল্টে যাওয়ার প্রবণতা দেখায়। এছাড়া গাড়ির কেন্দ্রবিমুখী বলের মান বেশি হওয়ার কারণে এবং রাস্তার বাইরের চাকার ওপর চাপের ভারসাম্য নষ্ট হওয়ার ফলে গাড়িটি উল্টে যায়।

(গ) উদ্দীপকের বর্ণিত পাখায় প্রয়োগকৃত টর্ক নির্ণয় কর।
এখানে,
জড়তার ভ্রামক, $I = 100$ $kg m^2$
আদি কৌণিক বেগ, $\omega_0 = \frac{2\pi n}{t} = \frac{2\pi \times 900}{60} = 30\pi$ $rad s^{-1}$
শেষ কৌণিক বেগ, $\omega = 0$ (যেহেতু থেমে যায়)
সময়, $t = 2$ মিনিট = $120$ s

কৌণিক ত্বরণ, $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{0 - 30\pi}{120} = -\frac{\pi}{4}$ $rad s^{-2}$

আমরা জানি, টর্ক $\tau = I\alpha$
বা, $\tau = 100 \times (-\frac{\pi}{4}) = -25\pi$
বা, $\tau \approx -78.54$ Nm
$\therefore$ পাখায় প্রয়োগকৃত মন্দনকারী টর্কের মান ৭৮.৫৪ Nm।

(ঘ) থেমে যাওয়ার পূর্বে পাখাটির পক্ষে 1000 বার ঘোরা সম্ভব কি? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ তোমার মতামত দাও।
পাখাটি থেমে যাওয়ার পূর্বে কতবার ঘুরবে তা নির্ণয়ের জন্য আমাদের কৌণিক সরণ ($\theta$) বের করতে হবে।

এখানে,
আদি কৌণিক বেগ, $\omega_0 = 30\pi$ $rad s^{-1}$
শেষ কৌণিক বেগ, $\omega = 0$
সময়, $t = 120$ s

আমরা জানি, কৌণিক সরণ $\theta = (\frac{\omega_0 + \omega}{2}) \times t$
বা, $\theta = (\frac{30\pi + 0}{2}) \times 120$
বা, $\theta = 15\pi \times 120 = 1800\pi$ rad

ঘূর্ণন সংখ্যা $N = \frac{\theta}{2\pi}$ হলে,
$N = \frac{1800\pi}{2\pi} = 900$ বার।

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত:
হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে যে, সুইচ বন্ধ করার পর থেমে যাওয়ার আগ পর্যন্ত পাখাটি মোট ৯০০ বার ঘুরবে। যেহেতু পাখাটি সর্বোচ্চ ৯০০ বার ঘুরতে পারে, তাই এর পক্ষে ১০০০ বার ঘোরা সম্ভব নয়।