(ক) আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?
ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি ধনাত্মক অক্ষ (x, y ও z) বরাবর যে তিনটি একক ভেক্টর ($\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$) বিবেচনা করা হয়, তাদের আয়ত একক ভেক্টর বলে।

(খ) লন রোলার ঠেলার চেয়ে টানা সহজ—ব্যাখ্যা কর।
লন রোলার ঠেলার সময় বলের একটি উলম্ব উপাংশ নিচের দিকে কাজ করে, যা রোলারের ওজনকে বাড়িয়ে দেয়। ফলে ঘর্ষণ বল বৃদ্ধি পায়। কিন্তু টানার সময় বলের উলম্ব উপাংশ উপরের দিকে কাজ করায় রোলারের আপাত ওজন কমে যায় এবং ঘর্ষণ বল হ্রাস পায়। ঘর্ষণ বল কম হওয়ায় লন রোলার ঠেলার চেয়ে টানা সহজ হয়।

(গ) প্রথম সাঁতারু B বিন্দুতে পৌঁছানোর উদ্দেশ্যে AC বরাবর রওনা দিয়ে D বিন্দুতে পৌঁছালো। BD দূরত্ব নির্ণয় কর।
এখানে,
নদীর প্রস্থ, $h = 500$ m = $0.5$ km
সাঁতারুর বেগ, $u = 16$ $kmh^{-1}$
স্রোতের বেগ, $v = 8$ $kmh^{-1}$
সাঁতারু স্রোতের বিপরীতে $\angle CAB = 10^\circ$ কোণে রওনা দেয়।
স্রোতের সাথে কোণ, $\alpha = 90^\circ + 10^\circ = 100^\circ$

প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগের অনুভূমিক উপাংশ, $V_x = v + u\cos\alpha$
বা, $V_x = 8 + 16\cos 100^\circ = 8 - 2.778 = 5.222$ $kmh^{-1}$

নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, $t = \frac{h}{u\sin\alpha}$
বা, $t = \frac{0.5}{16\sin 100^\circ} = \frac{0.5}{15.757} = 0.03173$ h

$\therefore$ পার বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব, $BD = V_x \times t$
বা, $BD = 5.222 \times 0.03173 \approx 0.1657$ km
$\therefore BD \approx 165.7$ m
অর্থাৎ, BD দূরত্ব ১৬৫.৭ মিটার।

(ঘ) সাঁতারুদ্বয়ের মধ্যে কোন সাঁতারু আগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
নদী পার হতে সময় কেবল বেগের উলম্ব উপাংশের ওপর নির্ভর করে।

১ম সাঁতারুর ক্ষেত্রে:
স্রোতের সাথে কোণ, $\alpha_1 = 100^\circ$
সময়, $t_1 = \frac{h}{u\sin\alpha_1} = \frac{0.5}{16\sin 100^\circ}$
বা, $t_1 \approx 0.03173$ h $\approx 114.23$ s

২য় সাঁতারুর ক্ষেত্রে:
স্রোতের সাথে কোণ, $\alpha_2 = 60^\circ$
সময়, $t_2 = \frac{h}{u\sin\alpha_2} = \frac{0.5}{16\sin 60^\circ}$
বা, $t_2 = \frac{0.5}{16 \times 0.866} = \frac{0.5}{13.856}$
বা, $t_2 \approx 0.03608$ h $\approx 129.91$ s

গাণিতিক বিশ্লেষণ:
হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে যে, $t_1 < t_2$। যেহেতু প্রথম সাঁতারুর নদী পার হতে কম সময় প্রয়োজন হচ্ছে, তাই প্রথম সাঁতারু আগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে।