(ক) সীমাবদ্ধ ভেক্টর কাকে বলে?
যে ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট থাকে, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে। অর্থাৎ, এই ভেক্টরের শুরু বা উৎস বিন্দুটি নিজের ইচ্ছামতো পরিবর্তন করা যায় না।

(খ) বল ও সরণ ভেক্টর রাশি হলেও কাজ স্কেলার রাশি কেন? ব্যাখ্যা কর।
আমরা জানি, কাজ হলো বল ($\vec{F}$) এবং সরণ ($\vec{s}$) ভেক্টরের ডট গুণফল বা স্কেলার গুণফলের সমান ($W = \vec{F} \cdot \vec{s} = Fs \cos \theta$)। ভেক্টর বীজগণিতের নিয়ম অনুযায়ী, দুটি ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণফলের ফলাফল সর্বদা একটি স্কেলার রাশি হয়, যার কেবল মান থাকে কিন্তু কোনো দিক থাকে না। এই কারণেই বল ও সরণ ভেক্টর হওয়া সত্ত্বেও কাজ একটি স্কেলার রাশি।

(গ) ভেক্টর $\vec{C}$ বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, $\vec{A} = -\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$।
যেহেতু $\vec{C}$ ভেক্টরটি $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ উভয়ের ওপর লম্ব, তাই $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$।

$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -3 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(6 - (-4)) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(2 - (-6))$
$= 10\hat{i} + 2\hat{j} + 8\hat{k}$

$\vec{C}$ এর মান, $|\vec{C}| = \sqrt{10^2 + 2^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 4 + 64} = \sqrt{168} = 2\sqrt{42}$
$\therefore \vec{C}$ বরাবর একক ভেক্টর, $\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}$
$\hat{\eta} = \pm \frac{10\hat{i} + 2\hat{j} + 8\hat{k}}{2\sqrt{42}} = \pm \frac{5\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{42}}$

(ঘ) উদ্দীপক অনুযায়ী গাণিতিকভাবে যাচাই কর যে, $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{R}$।
উদ্দীপকের MNL ত্রিভুজে O বিন্দু থেকে শীর্ষবিন্দুসমূহের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{OM} = \vec{R}$, $\vec{ON} = \vec{P}$ এবং $\vec{OL} = \vec{Q}$।

ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্রানুযায়ী যেকোনো দুই বাহুর ভেক্টর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর সমান হয় যদি তারা একই ক্রমে থাকে। কিন্তু এখানে $\vec{P}, \vec{Q}, \vec{R}$ হলো মূলবিন্দু O থেকে তিনটি ভিন্ন শীর্ষের দিকে নির্দেশিত অবস্থান ভেক্টর।
$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \vec{P} - \vec{R}$
$\vec{NL} = \vec{OL} - \vec{ON} = \vec{Q} - \vec{P}$
$\vec{LM} = \vec{OM} - \vec{OL} = \vec{R} - \vec{Q}$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: ভেক্টর যোগের সাধারণ নিয়ম অনুযায়ী, $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{R}$ তখনই সম্ভব যদি $\vec{P}$ এবং $\vec{Q}$ ভেক্টরদ্বয় একই ক্রমে থেকে লব্ধি হিসেবে $\vec{R}$ উৎপন্ন করে। কিন্তু চিত্রানুসারে তারা সবাই বহির্মুখী অবস্থান ভেক্টর। সুতরাং জ্যামিতিকভাবে $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{R}$ হওয়া সম্ভব নয় যদি না $N$ ও $L$ বিন্দুর সংযোগকারী ভেক্টরটি বিশেষ কোনো শর্ত পূরণ করে। সাধারণত ত্রিভুজ সূত্রের সঠিক রূপ হলো $\vec{OM} + \vec{MN} = \vec{ON}$।