(ক) অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।
(খ) পানিপূর্ণ বালতি উলম্ব তলে ঘুরাতে থাকলে তার পানি পড়ে যায় না কেন? ব্যাখ্যা কর।
বালতিটি যখন উলম্ব তলে ঘোরানো হয়, তখন বালতির ভেতরের পানির ওপর দুটি বল কাজ করে—পানির ওজন (নিচের দিকে) এবং বৃত্তাকার গতির কারণে সৃষ্ট কেন্দ্রবিমুখী বল (বাইরের দিকে)। যদি বালতির ঘূর্ণন গতি যথেষ্ট হয়, তবে সর্বোচ্চ বিন্দুতে কেন্দ্রবিমুখী বলের মান পানির ওজনের সমান বা বেশি হয়। এই কেন্দ্রবিমুখী বল পানির ওজনকে প্রশমিত করে পানিকে বালতির তলার দিকে চেপে রাখে, ফলে পানি নিচে পড়ে যায় না।
(গ) $\vec{A}$ ভেক্টরটির কার্ল নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, $\vec{A} = 4x^3y^2\hat{i} - 4x^2y^3z\hat{j} - 6xyz^3\hat{k}$
আমরা জানি, $\text{curl} \vec{A} = \vec{\nabla} \times \vec{A} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
4x^3y^2 & -4x^2y^3z & -6xyz^3
\end{vmatrix}$
$= \hat{i} [\frac{\partial}{\partial y}(-6xyz^3) - \frac{\partial}{\partial z}(-4x^2y^3z)] - \hat{j} [\frac{\partial}{\partial x}(-6xyz^3) - \frac{\partial}{\partial z}(4x^3y^2)] + \hat{k} [\frac{\partial}{\partial x}(-4x^2y^3z) - \frac{\partial}{\partial y}(4x^3y^2)]$
$= \hat{i} [-6xz^3 - (-4x^2y^3)] - \hat{j} [-6yz^3 - 0] + \hat{k} [-8xy^3z - 8x^3y]$
$= (4x^2y^3 - 6xz^3)\hat{i} + 6yz^3\hat{j} - (8xy^3z + 8x^3y)\hat{k}$
এটিই নির্ণেয় কার্ল।
(ঘ) উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রে এবং একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে একটি স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর করা যায়—গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
১. স্কেলার ক্ষেত্র হতে ভেক্টর ক্ষেত্র (গ্রেডিয়েন্ট):
স্কেলার রাশি $\phi$ এর ওপর ভেক্টর অপারেটর $\vec{\nabla}$ প্রয়োগ করলে একটি ভেক্টর রাশি পাওয়া যায় (গ্রেডিয়েন্ট)।
$\vec{\nabla}\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\hat{k}$
উদ্দীপকের $\phi = 3xy^2z + 3xyz^2 + 3y^2z^3$ এর জন্য:
$\frac{\partial\phi}{\partial x} = 3y^2z + 3yz^2$
$\frac{\partial\phi}{\partial y} = 6xyz + 3xz^2 + 6yz^3$
$\frac{\partial\phi}{\partial z} = 3xy^2 + 6xyz + 9y^2z^2$
$\therefore \vec{\nabla}\phi = (3y^2z + 3yz^2)\hat{i} + (6xyz + 3xz^2 + 6yz^3)\hat{j} + (3xy^2 + 6xyz + 9y^2z^2)\hat{k}$ (এটি একটি ভেক্টর ক্ষেত্র)।
২. ভেক্টর ক্ষেত্র হতে স্কেলার ক্ষেত্র (ডাইভারজেন্স):
ভেক্টর রাশি $\vec{A}$ এর সাথে ভেক্টর অপারেটর $\vec{\nabla}$ এর ডট গুণন করলে একটি স্কেলার রাশি পাওয়া যায় (ডাইভারজেন্স)।
$\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{\partial}{\partial x}(4x^3y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-4x^2y^3z) + \frac{\partial}{\partial z}(-6xyz^3)$
$= 12x^2y^2 - 12x^2y^2z - 18xyz^2$
প্রাপ্ত ফলাফলটি একটি স্কেলার রাশি, কারণ এতে কোনো দিক নির্দেশক ($\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$) নেই।
গাণিতিক বিশ্লেষণ: দেখা গেল যে, গ্রেডিয়েন্টের মাধ্যমে স্কেলার ক্ষেত্র $\phi$ একটি ভেক্টর ক্ষেত্রে এবং ডাইভারজেন্সের মাধ্যমে ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{A}$ একটি স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তরিত হয়েছে। সুতরাং, উদ্দীপকের বিবৃতিটি গাণিতিকভাবে প্রমাণিত।