ক-এর উত্তর:
ধরি, $z = -2 + 2i$
এখানে, বাস্তব অংশ $x = -2$ এবং কাল্পনিক অংশ $y = 2$।
$\therefore$ মডুলাস $|z| = \sqrt{(-2)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।
যেহেতু সংখ্যাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
$\therefore$ আর্গুমেন্ট $\theta = \pi - \tan^{-1} |\frac{2}{-2}| = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।

খ-এর উত্তর:
ধরি, $X = p+q\omega+r\omega^{2}$ এবং $Y = p+q\omega^{2}+r\omega$
$\therefore B = X^{3} + Y^{3} = (X+Y)(X+\omega Y)(X+\omega^{2} Y)$
এখন, $X+Y = 2p + q(\omega+\omega^{2}) + r(\omega^{2}+\omega) = 2p - q - r$ [$\because 1+\omega+\omega^{2}=0$]
দেওয়া আছে, $p+q+r=0 \implies -q-r = p$
$\therefore X+Y = 2p + p = 3p$
আবার, $X+\omega Y = (p+q\omega+r\omega^{2}) + \omega(p+q\omega^{2}+r\omega) = p+q\omega+r\omega^{2} + p\omega+q\omega^{3}+r\omega^{2}$
$\implies X+\omega Y = p(1+\omega) + q\omega + q + 2r\omega^{2} = -p\omega^{2} + q(1+\omega) + 2r\omega^{2}$
$\implies X+\omega Y = -p\omega^{2} - q\omega^{2} + 2r\omega^{2} = \omega^{2}(-p-q+2r) = \omega^{2}(p+q+r-p-q+2r)$ [ভুল সংশোধন]
$\implies X+\omega Y = \omega^{2}(3r)$
অনুরূপভাবে, $X+\omega^{2} Y = \omega(3q)$
$\therefore B = (3p) \cdot (3r\omega^{2}) \cdot (3q\omega) = 27pqr \cdot \omega^{3} = 27pqr$
উদ্দীপকের প্রমাণে সম্ভবত মুদ্রণজনিত ত্রুটি আছে, সঠিক প্রমাণটি হবে $B = 27pqr$।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $p = x + iy$
$\therefore \frac{p-5}{p+2} = \frac{x+iy-5}{x+iy+2} = \frac{(x-5)+iy}{(x+2)+iy}$
$\implies \frac{(x-5)+iy}{(x+2)+iy} \times \frac{(x+2)-iy}{(x+2)-iy}$
$\implies \frac{(x-5)(x+2) - i(x-5)y + iy(x+2) + y^{2}}{(x+2)^{2} + y^{2}}$
$\implies \frac{\{(x-5)(x+2)+y^{2}\} + i\{y(x+2)-y(x-5)\}}{(x+2)^{2} + y^{2}}$
$\implies \frac{\{(x-5)(x+2)+y^{2}\} + i(7y)}{(x+2)^{2} + y^{2}}$
প্রশ্নমতে, $\arg(\frac{p-5}{p+2}) = \frac{\pi}{2}$
আমরা জানি, কোনো জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট $\frac{\pi}{2}$ হলে তার বাস্তব অংশ শূন্য হয়।
$\therefore \frac{(x-5)(x+2)+y^{2}}{(x+2)^{2} + y^{2}} = 0$
$\implies (x-5)(x+2) + y^{2} = 0$
$\implies y^{2} = -(x-5)(x+2)$
$\therefore y^{2} = (5-x)(x+2)$ (প্রমাণিত)।