ক) বিস্তার না করে $\begin{vmatrix} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{vmatrix}$ এর মান নির্ণয়:
ধরি, $D = \begin{vmatrix} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{vmatrix}$

নির্ণায়কের ১ম কলামের সাথে ৩য় কলাম যোগ করে পাই, $C'_1 = C_1 + C_3$:
$\implies D = \begin{vmatrix} a+b+c & 1 & b+c \\ a+b+c & 1 & c+a \\ a+b+c & 1 & a+b \end{vmatrix}$

১ম কলাম হতে সাধারণ উপাদান $(a+b+c)$ কমন নিয়ে পাই:
$\implies D = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & b+c \\ 1 & 1 & c+a \\ 1 & 1 & a+b \end{vmatrix}$

আমরা জানি, কোনো নির্ণায়কের দুটি কলাম বা দুটি সারি সর্বসম (একই) হলে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
এখানে ১ম কলাম এবং ২য় কলাম সম্পূর্ণ একই ($C_1 = C_2$)।
$\implies D = (a+b+c) \times 0$
$\implies D = 0$

---

খ) $x, y$ ও $z$ এর সহগগুলো নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স $A$ হলে $A^{-1}$ নির্ণয়:
প্রদত্ত সমীকরণ জোট হতে $x, y, z$ এর সহগ নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স $A$:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & -5 \end{bmatrix}$

প্রথমে ম্যাট্রিক্স $A$ এর নির্ণায়কের মান $|A|$ বের করি:
$|A| = 2|3(-5) - 2(-1)| - (-1)|1(-5) - 2(3)| + (-1)|1(-1) - 3(3)|$
$\implies |A| = 2(-15 + 2) + 1(-5 - 6) - 1(-1 - 9)$
$\implies |A| = 2(-13) + 1(-11) - 1(-10)$
$\implies |A| = -26 - 11 + 10$
$\implies |A| = -27$
যেহেতু $|A| \neq 0$, সেহেতু $A^{-1}$ বিদ্যমান।

এখন $A$ ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলোর সহগুণকসমূহ নির্ণয় করি:
$A_{11} = +(-15 + 2) = -13, \quad A_{12} = -(-5 - 6) = 11, \quad A_{13} = +(-1 - 9) = -10$
$A_{21} = -(5 - 1) = -4, \quad A_{22} = +(-10 + 3) = -7, \quad A_{23} = -(-2 + 3) = -1$
$A_{31} = +(-2 + 3) = 1, \quad A_{32} = -(4 + 1) = -5, \quad A_{33} = +(6 + 1) = 7$

সহগুণক ম্যাট্রিক্স $cof(A)$:
$cof(A) = \begin{bmatrix} -13 & 11 & -10 \\ -4 & -7 & -1 \\ 1 & -5 & 7 \end{bmatrix}$

অনুবন্ধী (Adjunct) ম্যাট্রিক্স $adj(A) = [cof(A)]^T$:
$adj(A) = \begin{bmatrix} -13 & -4 & 1 \\ 11 & -7 & -5 \\ -10 & -1 & 7 \end{bmatrix}$

অতএব, বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}$:
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$
$\implies A^{-1} = -\frac{1}{27} \begin{bmatrix} -13 & -4 & 1 \\ 11 & -7 & -5 \\ -10 & -1 & 7 \end{bmatrix}$

---

গ) ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোট সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ জোট:
$2x - y - z = 6$
$x + 3y + 2z = 1$
$3x - y - 5z = 1$

প্রধান নির্ণায়ক $D$:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & -5 \end{vmatrix}$
খ-হতে আমরা জানি, $D = -27$

$x$ এর সহগগুলোর স্থলে ধ্রুবক পদ বসিয়ে $D_x$ পাই:
$D_x = \begin{vmatrix} 6 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -5 \end{vmatrix}$
$\implies D_x = 6(-15 + 2) - (-1)(-5 - 2) + (-1)(-1 - 3)$
$\implies D_x = 6(-13) + 1(-7) - 1(-4)$
$\implies D_x = -78 - 7 + 4$
$\implies D_x = -81$

$y$ এর সহগগুলোর স্থলে ধ্রুবক পদ বসিয়ে $D_y$ পাই:
$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 6 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -5 \end{vmatrix}$
$\implies D_y = 2(-5 - 2) - 6(-5 - 6) + (-1)(1 - 3)$
$\implies D_y = 2(-7) - 6(-11) - 1(-2)$
$\implies D_y = -14 + 66 + 2$
$\implies D_y = 54$

$z$ এর সহগগুলোর স্থলে ধ্রুবক পদ বসিয়ে $D_z$ পাই:
$D_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 6 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$\implies D_z = 2(3 + 1) - (-1)(1 - 3) + 6(-1 - 9)$
$\implies D_z = 2(4) + 1(-2) + 6(-10)$
$\implies D_z = 8 - 2 - 60$
$\implies D_z = -54$

ক্রেমারের সূত্রানুযায়ী পাই:
$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-81}{-27} = 3$
$y = \frac{D_y}{D} = \frac{54}{-27} = -2$
$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-54}{-27} = 2$

অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $(x, y, z) = (3, -2, 2)$