ক) উদ্দীপকের $AB$ সরলরেখাটি $Y$-অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $A(3, -1)$ এবং $B(-1, 5)$।

$AB$ সরলরেখার সমীকরণ:
$\frac{x - x_1}{x_1 - x_2} = \frac{y - y_1}{y_1 - y_2}$
$=> \frac{x - 3}{3 - (-1)} = \frac{y - (-1)}{-1 - 5}$
$=> \frac{x - 3}{4} = \frac{y + 1}{-6}$
$=> \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{-3}$
$=> -3(x - 3) = 2(y + 1)$
$=> -3x + 9 = 2y + 2$
$=> 3x + 2y - 7 = 0$

রেখাটি $Y$-অক্ষকে ছেদ করলে $x = 0$ হয়।
$3(0) + 2y - 7 = 0$
$=> 2y = 7$
$=> y = \frac{7}{2}$

নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক: $(0, \frac{7}{2})$



খ) $P$ বিন্দুগামী এবং $AB$ সরলরেখার সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

'ক' হতে পাই $AB$ রেখার সমীকরণ: $3x + 2y - 7 = 0$
$=> 2y = -3x + 7$
$=> y = -\frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$
ধরি, $AB$ রেখার ঢাল, $m_1 = -\frac{3}{2}$

ধরি, $P(1, -1)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল $m$।
শর্তানুসারে, রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 45^\circ$।

আমরা জানি, $\tan \theta = \pm \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}$
$=> \tan 45^\circ = \pm \frac{m - (-\frac{3}{2})}{1 + m(-\frac{3}{2})}$
$=> 1 = \pm \frac{m + \frac{3}{2}}{1 - \frac{3m}{2}}$
$=> 1 = \pm \frac{2m + 3}{2 - 3m}$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
$1 = \frac{2m + 3}{2 - 3m}$
$=> 2 - 3m = 2m + 3$
$=> -5m = 1$
$=> m = -\frac{1}{5}$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
$1 = -\frac{2m + 3}{2 - 3m}$
$=> 2 - 3m = -2m - 3$
$=> -m = -5$
$=> m = 5$

$P(1, -1)$ বিন্দুগামী এবং $m = -\frac{1}{5}$ ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ:
$y - (-1) = -\frac{1}{5}(x - 1)$
$=> 5(y + 1) = -x + 1$
$=> 5y + 5 = -x + 1$
$=> x + 5y + 4 = 0$

$P(1, -1)$ বিন্দুগামী এবং $m = 5$ ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ:
$y - (-1) = 5(x - 1)$
$=> y + 1 = 5x - 5$
$=> 5x - y - 6 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ: $x + 5y + 4 = 0$ এবং $5x - y - 6 = 0$



গ) $AB$ এর উপর লম্বরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা $P$ বিন্দু থেকে $2$ একক দূরে অবস্থিত।

'ক' হতে পাই $AB$ রেখার সমীকরণ: $3x + 2y - 7 = 0$

ধরি, $AB$ রেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ:
$2x - 3y + k = 0 \cdots\cdots (i)$

প্রশ্নমতে, $P(1, -1)$ বিন্দু থেকে $(i)$ নং রেখার লম্ব দূরত্ব $2$ একক।
$\left| \frac{2(1) - 3(-1) + k}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} \right| = 2$
$=> \left| \frac{2 + 3 + k}{\sqrt{4 + 9}} \right| = 2$
$=> \left| \frac{5 + k}{\sqrt{13}} \right| = 2$
$=> \frac{5 + k}{\sqrt{13}} = \pm 2$
$=> 5 + k = \pm 2\sqrt{13}$
$=> k = -5 \pm 2\sqrt{13}$

$k$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$2x - 3y - 5 \pm 2\sqrt{13} = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: $2x - 3y - 5 \pm 2\sqrt{13} = 0$