ID#6858 HSC Higher Math 1st CQ (Chittagong 2023)

ক) ব্যাসার্ধ $3$ এবং $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ বৃত্তের সাথে সমকেন্দ্রিক এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়:
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$
$\implies x^2 + y^2 + 2(-2)x + 2(-3)y = 0$
অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্র $(g, f) = (-(-2), -(-3)) = (2, 3)$

যেহেতু নির্ণেয় বৃত্তটি প্রদত্ত বৃত্তের সাথে সমকেন্দ্রিক, তাই নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্রও হবে $(2, 3)$।
এবং বৃত্তটির ব্যাসার্ধ দেওয়া আছে $r = 3$।

আমরা জানি, $(h, k)$ কেন্দ্র এবং $r$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$
$\implies (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 3^2$
$\implies x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 9$
$\implies x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$

---

খ) উদ্দীপকে উল্লিখিত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যাকে বৃত্তের ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়:
উদ্দীপকের বৃত্তদ্বয়:
$S_1 \equiv x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 = 0$ ... (১)
$S_2 \equiv x^2 + y^2 + 8x + y + 10 = 0$ ... (২)

বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ ($S_1 - S_2 = 0$):
$(x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6) - (x^2 + y^2 + 8x + y + 10) = 0$
$\implies -2x + y - 4 = 0$
$\implies 2x - y + 4 = 0$ ... (৩)

(১) নং বৃত্ত ও (৩) নং জ্যা-এর ছেদবিন্দুগামী যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ ($S_1 + kL = 0$):
$(x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6) + k(2x - y + 4) = 0$
$\implies x^2 + y^2 + (6 + 2k)x + (2 - k)y + (6 + 4k) = 0$ ... (৪)

(৪) নং বৃত্তের কেন্দ্র:
$\text{কেন্দ্র} = \left( -\frac{6 + 2k}{2}, -\frac{2 - k}{2} \right) = \left( -(3 + k), \frac{k - 2}{2} \right)$

যেহেতু সাধারণ জ্যা-টি নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস, সেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রটি অবশ্যই জ্যা-এর উপর অবস্থিত হবে।
সুতরাং, কেন্দ্র দিয়ে (৩) নং সমীকরণটি সিদ্ধ করে পাই:
$2[-(3 + k)] - \left( \frac{k - 2}{2} \right) + 4 = 0$
$\implies -6 - 2k - \frac{k - 2}{2} + 4 = 0$
$\implies -2k - \frac{k - 2}{2} - 2 = 0$
উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$\implies -4k - (k - 2) - 4 = 0$
$\implies -4k - k + 2 - 4 = 0$
$\implies -5k - 2 = 0 \implies k = -\frac{2}{5}$

$k$ এর মান (৪) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$x^2 + y^2 + \left(6 + 2\left(-\frac{2}{5}\right)\right)x + \left(2 - \left(-\frac{2}{5}\right)\right)y + \left(6 + 4\left(-\frac{2}{5}\right)\right) = 0$
$\implies x^2 + y^2 + \left(6 - \frac{4}{5}\right)x + \left(2 + \frac{2}{5}\right)y + \left(6 - \frac{8}{5}\right) = 0$
$\implies x^2 + y^2 + \frac{26}{5}x + \frac{12}{5}y + \frac{22}{5} = 0$
$\implies 5(x^2 + y^2) + 26x + 12y + 22 = 0$

---

গ) $(-3, 2)$ বিন্দু হতে উদ্দীপকের ১ম বৃত্তটির উপর অঙ্কিত স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয়:
উদ্দীপকের ১ম বৃত্ত: $x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 = 0$ ... (১)
বৃত্তটির কেন্দ্র $C(-3, -1)$

বিন্দুটি পরীক্ষা করি: $(-3)^2 + (2)^2 + 6(-3) + 2(2) + 6 = 9 + 4 - 18 + 4 + 6 = 5 \neq 0$
যেহেতু বিন্দুটি বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত নয়, তাই $(-3, 2)$ বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর বহিঃস্থ স্পর্শক আঁকা হয়েছে।
লক্ষ্য করি, প্রদত্ত বিন্দু $P(-3, 2)$ এবং বৃত্তের কেন্দ্র $C(-3, -1)$ এর ভুজ একই ($x = -3$)।
অর্থাৎ, কেন্দ্র ও প্রদত্ত বিন্দুর সংযোগকারী রেখাটি (যা অভিলম্ব) Y-অক্ষের সমান্তরাল।

अभিলম্বের সমীকরণ:
আমরা জানি, বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অভিলম্ব সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্রগামী হয়।
সুতরাং, $(-3, 2)$ এবং কেন্দ্র $(-3, -1)$ বিন্দুগামী অভিলম্বের সমীকরণ হবে:
$x = -3 \implies x + 3 = 0$

স্পর্শকের সমীকরণ:
ধরি, $P(-3, 2)$ বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার (স্পর্শকের) ঢাল $m$।
স্পর্শকের সমীকরণ: $y - 2 = m(x - (-3)) \implies mx - y + (3m + 2) = 0$ ... (২)

বৃত্তের কেন্দ্র $C(-3, -1)$ হতে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{3^2 + 1^2 - 6} = \sqrt{9 + 1 - 6} = 2$
$\implies \frac{|m(-3) - (-1) + 3m + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
$\implies \frac{|-3m + 1 + 3m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
$\implies \frac{|3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই:
$\implies \frac{9}{m^2 + 1} = 4$
$\implies 4m^2 + 4 = 9 \implies 4m^2 = 5 \implies m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$m$ এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ পাই:
যখন $m = \frac{\sqrt{5}}{2}$:
$\frac{\sqrt{5}}{2}x - y + 3\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right) + 2 = 0 \implies \sqrt{5}x - 2y + 3\sqrt{5} + 4 = 0$

যখন $m = -\frac{\sqrt{5}}{2}$:
$-\frac{\sqrt{5}}{2}x - y + 3\left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) + 2 = 0 \implies \sqrt{5}x + 2y + 3\sqrt{5} - 4 = 0$

অতএব, নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ $\sqrt{5}x - 2y + 3\sqrt{5} + 4 = 0$ এবং $\sqrt{5}x + 2y + 3\sqrt{5} - 4 = 0$
এবং অভিলম্বের সমীকরণ $x + 3 = 0$।