ID#6795 HSC Higher Math 1st CQ (Dhaka 2023)

ক) কোনো বৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ $x^2 = 25 - t^2$ , $y = t$ হলে বৃত্তটির ব্যাস নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে পরামিতিক সমীকরণ:
$x^2 = 25 - t^2 \cdots\cdots (i)$
$y = t \cdots\cdots (ii)$

$(ii)$ নং হতে $t$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$x^2 = 25 - y^2$
$=> x^2 + y^2 = 25$
$=> x^2 + y^2 = 5^2$

এটি একটি বৃত্তের প্রমিত সমীকরণ যার কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং ব্যাসার্ধ, $r = 5$ একক।
অতএব, বৃত্তটির ব্যাস = $2r$
$=> 2 \times 5 = 10$ একক।

উত্তর: $10$ একক।



খ) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র $X$-অক্ষের উপর অবস্থিত এবং উদ্দীপকে উল্লিখিত বৃত্তটির কেন্দ্র ও মূলবিন্দু দিয়ে যায়।

উদ্দীপকের চিত্রে মূলবৃত্তের কেন্দ্র $C(2, 3)$ এবং মূলবিন্দু $O(0, 0)$।
ধরি, নতুন বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \cdots\cdots (i)$

যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র $X$-অক্ষের উপর অবস্থিত, তাই কেন্দ্রের কোটি $f = 0$ হবে।
আবার, বৃত্তটি মূলবিন্দু $O(0, 0)$ দিয়ে যায়, তাই $c = 0$ হবে।

এখন $f = 0$ এবং $c = 0$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$x^2 + y^2 + 2gx = 0 \cdots\cdots (ii)$

যেহেতু $(ii)$ নং বৃত্তটি উদ্দীপকের বৃত্তের কেন্দ্র $C(2, 3)$ বিন্দুগামী, সেহেতু বিন্দুটি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে:
$2^2 + 3^2 + 2g(2) = 0$
$=> 4 + 9 + 4g = 0$
$=> 13 + 4g = 0$
$=> 4g = -13$
$=> 2g = -\frac{13}{2}$

$2g$ এর মান $(ii)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$x^2 + y^2 - \frac{13}{2}x = 0$
$=> 2(x^2 + y^2) - 13x = 0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: $2(x^2 + y^2) - 13x = 0$



গ) $OC$ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের চিত্রে মূলবিন্দু $O(0, 0)$ এবং বৃত্তের কেন্দ্র $C(2, 3)$।
$OC$ রেখাটি বৃত্তের কেন্দ্র ও মূলবিন্দুর সংযোজক রেখা। বৃত্তের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী, কেন্দ্রগামী কোনো সরলরেখা বৃত্তের স্পর্শক হতে পারে না, বরং তা স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব (অভিলম্ব) হয়। তবে প্রশ্ন অনুযায়ী $O$ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য শূন্য এবং স্পর্শকটি কেন্দ্রগামী হলে রেখাটি অবলুপ্ত হয়। এখানে গাণিতিক ধারাবাহিকতায় $O(0, 0)$ ও $C(2, 3)$ বিন্দুগামী সরলরেখা বা অক্ষীয় দূরত্বের সাপেক্ষে $OC$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় করা হলো।

$O(0, 0)$ এবং $C(2, 3)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
$\frac{x - 0}{0 - 2} = \frac{y - 0}{0 - 3}$
$=> \frac{x}{-2} = \frac{y}{-3}$
$=> -3x = -2y$
$=> 3x - 2y = 0$

নির্ণেয় রেখার সমীকরণ: $3x - 2y = 0$