ID#4928 Higher Math 2nd CQ (Barisal 2023)

ক) ভরক্রিয়া সূত্রটি বিবৃত কর।

নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় যেকোনো মুহূর্তে কোনো রাসায়নিক বিক্রিয়ার হার ওই মুহূর্তে উপস্থিত বিক্রিয়কসমূহের সক্রিয় ভরের (মোলার ঘনমাত্রা বা আংশিক চাপের) সমানুপাতিক।

খ) $\text{Al}_2\text{O}_3$ এর অম্লত্ব 6 বলতে কী বোঝ?

কোনো ধাতব অক্সাইডের অম্লত্ব বলতে ওই অক্সাইডের ১ মোলকে সম্পূর্ণরূপে প্রশমিত করতে যত মোল এক-ক্ষারকীয় অ্যাসিডের (যেমন: $\text{HCl}$) প্রয়োজন হয়, তার সংখ্যাকে বোঝায়।

অ্যালুমিনিয়াম অক্সাইড ($\text{Al}_2\text{O}_3$) একটি উভধর্মী অক্সাইড যা অ্যাসিডের সাথে বিক্রিয়ায় ক্ষারক হিসেবে আচরণ করে। এর প্রশমন বিক্রিয়াটি নিম্নরূপ:
$\text{Al}_2\text{O}_3(s) + 6\text{HCl}(aq) \rightarrow 2\text{AlCl}_3(aq) + 3\text{H}_2\text{O}(l)$

উত্তর: উপরোক্ত সমীকরণ থেকে স্পষ্ট যে, ১ মোল $\text{Al}_2\text{O}_3$ কে সম্পূর্ণরূপে প্রশমিত করতে অবিকল ৬ মোল এক-ক্ষারকীয় লঘু $\text{HCl}$ অ্যাসিডের প্রয়োজন হয়। এই কারণে $\text{Al}_2\text{O}_3$ এর অম্লত্ব 6।

গ) B শক্তিস্তরে ইলেকট্রন আপতনের জন্য সৃষ্ট রেখা বর্ণালির দীর্ঘতম তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের হাইড্রোজেন পরমাণুর মডেলের শক্তিস্তরসমূহ প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা ($n$) এর ক্রমানুসারে বিন্যস্ত:
$\text{A} \rightarrow n = 1$
$\text{B} \rightarrow n = 2$
$\text{C} \rightarrow n = 3$
$\text{D} \rightarrow n = 4$
$\text{E} \rightarrow n = 5$

প্রশ্নানুযায়ী, ইলেকট্রন উচ্চ শক্তিস্তর থেকে লাফ দিয়ে $\text{B}$ শক্তিস্তরে ($n_1 = 2$) আপতিত বা স্থানান্তরিত হয়, যা হাইড্রোজেন বর্ণালির বামার (Balmer) সিরিজ নির্দেশ করে।

আমরা জানি, কোনো নির্দিষ্ট সিরিজে রেখা বর্ণালির দীর্ঘতম তরঙ্গদৈর্ঘ্য ($\lambda_{\text{max}}$) তখনই পাওয়া যায়, যখন ইলেকট্রনটি তার ঠিক পরবর্তী নিকটতম উচ্চ শক্তিস্তর থেকে নিম্ন শক্তিস্তরে স্থানান্তরিত হয়। কারণ এই ক্ষেত্রে শক্তির পার্থক্য সর্বনিম্ন ($\Delta E = \text{minimum}$) হয় এবং সমীকরণ $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ অনুযায়ী তরঙ্গদৈর্ঘ্য সর্বোচ্চ হয়।
সুতরাং, দীর্ঘতম তরঙ্গদৈর্ঘ্যের জন্য উচ্চ শক্তিস্তর হবে, $n_2 = 3$।

দেওয়া আছে সুনির্দিষ্ট উপাত্তসমূহ:
নিম্ন শক্তিস্তর, $n_1 = 2$
উচ্চ শক্তিস্তর, $n_2 = 3$
হাইড্রোজেনের রিডবার্গ ধ্রুবক, $R_H = 109678 \text{ cm}^{-1} = 1.09678 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$

রিডবার্গের সমীকরণ হতে পাই:
$\frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
$=> \frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = 1.09678 \times 10^7 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$
$=> \frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = 1.09678 \times 10^7 \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$
$=> \frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = 1.09678 \times 10^7 \times \left( \frac{9 - 4}{36} \right)$
$=> \frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = 1.09678 \times 10^7 \times \frac{5}{36}$
$=> \frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = 1.09678 \times 10^7 \times 0.138889$
$=> \frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = 1523305.56 \text{ m}^{-1}$

এখন তরঙ্গদৈর্ঘ্য ($\lambda_{\text{max}}$) এর মান বিপরীতকরণ করে নির্ণয় করি:
$\lambda_{\text{max}} = \frac{1}{1523305.56}$
$=> \lambda_{\text{max}} \approx 6.56467 \times 10^{-7} \text{ m}$

প্রাপ্ত মানটিকে ন্যানোমিটারে ($\text{nm}$) রূপান্তর করি:
$\lambda_{\text{max}} = 6.56467 \times 10^{-7} \times 10^9 \text{ nm} \quad [\because 1 \text{ m} = 10^9 \text{ nm}]$
$=> \lambda_{\text{max}} \approx 656.47 \text{ nm}$

উত্তর: $\text{B}$ শক্তিস্তরে ইলেকট্রন আপতনের জন্য সৃষ্ট রেখা বর্ণালির দীর্ঘতম তরঙ্গদৈর্ঘ্য হলো $656.47 \text{ nm}$।

---

ঘ) A ও C শক্তিস্তরের শক্তির পার্থক্য $1.93 \times 10^{-18}\text{ J}$ হলে নির্গত আলোক রশ্মি দৃশ্যমান হবে কি না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

উদ্দীপক ও তাত্ত্বিক নিয়মানুযায়ী, $\text{C}$ শক্তিস্তর ($n = 3$) থেকে যখন একটি ইলেকট্রন লাফ দিয়ে নিম্নতম $\text{A}$ শক্তিস্তরে ($n = 1$) স্থানান্তরিত হয়, তখন শক্তির বিকিরণ ঘটে। এই বিকিরিত আলোক রশ্মির তরঙ্গদৈর্ঘ্য ($\lambda$) গণনা করে দৃশ্যমান অঞ্চলের সীমার সাথে তুলনা করার মাধ্যমে এর দৃশ্যমানতা যাচাই করা সম্ভব।

দেওয়া আছে সুনির্দিষ্ট উপাত্তসমূহ:
শক্তিস্তরের শক্তির পার্থক্য, $\Delta E = 1.93 \times 10^{-18} \text{ J}$
প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক, $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$
আলোর বেগ, $c = 3.0 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}$

প্ল্যাঙ্কের কোয়ান্টাম তত্ত্ব ও আইনস্টাইনের সমীকরণ হতে আমরা জানি:
$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$
$=> \lambda = \frac{hc}{\Delta E}$

উপরোক্ত সমীকরণে মানসমূহ বসিয়ে পাই:
$\lambda = \frac{(6.626 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{1.93 \times 10^{-18}}$
$=> \lambda = \frac{1.9878 \times 10^{-25}}{1.93 \times 10^{-18}}$
$=> \lambda = 1.02995 \times 10^{-7} \text{ m}$

প্রাপ্ত তরঙ্গদৈর্ঘ্যকে ন্যানোমিটারে ($\text{nm}$) রূপান্তর করি:
$\lambda = 1.02995 \times 10^{-7} \times 10^9 \text{ nm}$
$=> \lambda \approx 102.99 \text{ nm}$

দৃশ্যমানতার তাত্ত্বিক বিশ্লেষণ ও যুক্তি:
১. মানুষের চোখ দিয়ে কোনো আলোক রশ্মি দেখতে পাওয়ার জন্য তার তরঙ্গদৈর্ঘ্য অবশ্যই সুনির্দিষ্ট দৃশ্যমান অঞ্চলের সীমা বা $380 \text{ nm}$ থেকে $780 \text{ nm}$ (মতান্তরে $400 \text{ nm} - 700 \text{ nm}$) এর মধ্যে অবিকল অবস্থান করতে হবে।
২. আমাদের গাণিতিক হিসাব থেকে প্রাপ্ত তরঙ্গদৈর্ঘ্য $102.99 \text{ nm}$ দৃশ্যমান আলোর সর্বনিম্ন সীমা $380 \text{ nm}$ অপেক্ষা অনেক কম।
৩. তাত্ত্বিকভাবে, $10 \text{ nm}$ থেকে $380 \text{ nm}$ তরঙ্গদৈর্ঘ্য বিশিষ্ট অঞ্চলটি হলো অতিবেগুনী (Ultraviolet বা UV) অঞ্চল। এটি হাইড্রোজেন বর্ণালির লাইম্যান (Lyman) সিরিজের অন্তর্গত ($n_1 = 1$), যা মানুষের চোখে সম্পূর্ণ অদৃশ্য।

গাণিতিক সিদ্ধান্ত: যেহেতু উদ্দীপকের ইলেকট্রন স্থানান্তরে সৃষ্ট বিকিরিত রশ্মির তরঙ্গদৈর্ঘ্য ($102.99 \text{ nm}$) দৃশ্যমান আলোর সীমার বাইরে অতিবেগুনী অঞ্চলে অবস্থান করছে, তাই নির্গত আলোক রশ্মিটি মানুষের চোখে দৃশ্যমান হবে না।