ক) ক্ষয় ধ্রুবক কী?
কোনো তেজস্ক্রিয় পদার্থের একক সময়ে যে পরিমাণ নিউক্লিয়াস ক্ষয়প্রাপ্ত হয় তার হারকে ওই পদার্থের ক্ষয় ধ্রুবক বলে।

খ) নিউক্লিয়াসে প্রোটন খুব কাছাকাছি থাকলেও নিউক্লিয়াস সুস্থিত থাকার কারণ ব্যাখ্যা কর।
নিউক্লিয়াসে প্রোটনসমূহ ধনাত্মক আধানযুক্ত হওয়ায় এদের মধ্যে তীব্র স্থির তড়িৎ বিকর্ষণ বল কাজ করে। কিন্তু নিউক্লিয়াসের অভ্যন্তরে অত্যন্ত শক্তিশালী 'সবল নিউক্লীয় বল' বিদ্যমান, যা এই বিকর্ষণ বলের তুলনায় অনেক বেশি শক্তিশালী। এই বল প্রোটন-প্রোটন, প্রোটন-নিউট্রন এবং নিউট্রন-নিউট্রনকে একত্রে আবদ্ধ করে রাখে। অত্যন্ত ক্ষুদ্র পাল্লার এই সবল নিউক্লীয় বলের প্রভাবেই নিউক্লিয়াস সুস্থিত থাকে।

গ) উদ্দীপক হতে A মৌলে X_A এর মান নির্ণয় কর।
এখানে,
A মৌলের আদি ভর (ধরি), $M_0 = 100$ gm (অথবা অনুপাত হিসেবে ১ ধরা যায়)
ক্ষয় ধ্রুবক, $\lambda_A = 5.1 \times 10^{-3}$ $y^{-1}$
সময়, $t = 1.5$ $y$
অবশিষ্টাংশ, $X_A = ?$

আমরা জানি—
$X_A = M_0 e^{-\lambda_A t}$
$\Rightarrow X_A = M_0 e^{-(5.1 \times 10^{-3} \times 1.5)}$
$\Rightarrow X_A = M_0 e^{-0.00765}$
$\Rightarrow X_A \approx M_0 \times 0.99238$
$\Rightarrow X_A \approx 99.24\% M_0$
অর্থাৎ, ১.৫ বছর পর A মৌলের আদি ভরের ৯৯.২৪% অবশিষ্ট থাকবে।

ঘ) উদ্দীপক অনুযায়ী Y_B এবং Z_C এর মান নির্ণয় করে এদের গড় আয়ুর তুলনা করে মন্তব্য কর।
এখানে, B মৌলের অর্ধায়ু বা ক্ষয় ধ্রুবক নির্দিষ্ট নেই, তবে সাধারণ তেজস্ক্রিয়তা সূত্র ব্যবহার করা হলো। ধরি B ও C অভিন্ন মৌল বা এদের তথ্য পরষ্পর সম্পর্কযুক্ত। কিন্তু উদ্দীপক অনুযায়ী স্বতন্ত্র মান নির্ণয় অসম্ভব যদি না B এর অর্ধায়ু দেওয়া থাকে। সাধারণত এই ধরণের প্রশ্নে B এর অর্ধায়ু বা অর্ধাংশ হওয়ার তথ্য থেকে $Y_B$ বের করতে হয়।

Y_B নির্ণয় (B মৌল):
আদি ভর $N_0 = 50$ gm, অবশিষ্ট $N = 12.5$ gm
এখানে, $N = \frac{50}{4} = \frac{N_0}{2^2}$
আমরা জানি, $N = \frac{N_0}{2^n}$ যেখানে $n$ হলো অর্ধায়ুর সংখ্যা।
$\therefore n = 2$
সুতরাং, $Y_B = 2 \times T_{1/2}$ (যেখানে $T_{1/2}$ হলো B মৌলের অর্ধায়ু)।

Z_C নির্ণয় (C মৌল):
এখানে $t = 1.5$ $y$ এবং $N = 25.5$ gm। যদি C মৌলটি A এর অনুরূপ হয় ($\lambda_C = 5.1 \times 10^{-3}$):
$N = Z_C e^{-\lambda t}$
$\Rightarrow 25.5 = Z_C e^{-(5.1 \times 10^{-3} \times 1.5)}$
$\Rightarrow 25.5 = Z_C \times 0.99238$
$\Rightarrow Z_C = \frac{25.5}{0.99238} \approx 25.696$ gm

গড় আয়ুর তুলনা:
গড় আয়ু, $\tau = \frac{1}{\lambda}$।
A ও C এর গড় আয়ু, $\tau_{A,C} = \frac{1}{5.1 \times 10^{-3}} \approx 196.08$ বছর।
B মৌলের গড় আয়ু নির্ভর করবে তার অর্ধায়ুর ওপর। যদি $Y_B$ এর একটি নির্দিষ্ট সময় উদ্দীপকে থাকত (যেমন ২ বছর), তবে $\tau_B = \frac{Y_B}{2 \times 0.693}$ সূত্র দিয়ে তুলনা করা যেত। উদ্দীপকে সরাসরি সময়ের মান না থাকায় গাণিতিক মন্তব্য হলো: যে মৌলের ক্ষয় ধ্রুবক বেশি তার গড় আয়ু কম এবং যার ক্ষয় ধ্রুবক কম তার গড় আয়ু বেশি।