ক) পৃথিবীর আহ্নিক গতি কাকে বলে?
পৃথিবী তার নিজের অক্ষের চারদিকে প্রতিদিন একবার নির্দিষ্ট গতিতে পশ্চিম থেকে পূর্ব দিকে যে আবর্তন করে, তাকে আহ্নিক গতি বলে।

খ) অসম ভরের দুটি বস্তুর ভরবেগ সমান হলে গতিশক্তিও সমান হবে কি? ব্যাখ্যা কর।
অসম ভরের দুটি বস্তুর ভরবেগ সমান হলে তাদের গতিশক্তি সমান হবে না। আমরা জানি, গতিশক্তি $E_k = \frac{p^2}{2m}$; যেখানে $p$ হলো ভরবেগ এবং $m$ হলো বস্তুর ভর। যেহেতু এখানে ভরবেগ ($p$) ধ্রুব, তাই গতিশক্তি ভরের ব্যস্তানুপাতিক ($E_k \propto \frac{1}{m}$)। অর্থাৎ, যে বস্তুটির ভর কম তার গতিশক্তি বেশি হবে এবং যে বস্তুটির ভর বেশি তার গতিশক্তি কম হবে।

গ) গাড়িটি তুলতে ইঞ্জিনটির কৃতকাজ নির্ণয় কর।
এখানে,
গাড়ির ভর, $m = 1200$ kg
উলম্ব উচ্চতা, $h = 5$ m
অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8$ $ms^{-2}$

ইঞ্জিনটি গাড়িটিকে ধ্রুব বেগে ৫ মিটার উপরে তোলে। ঘর্ষণহীন পথে ধ্রুব বেগে চললে কেবল অভিকর্ষজ বলের বিরুদ্ধে কাজ সম্পাদিত হয়।
আমরা জানি, কৃতকাজ $W = mgh$:
$\Rightarrow W = 1200 \times 9.8 \times 5$
$\Rightarrow W = 58800$ J
অতএব, গাড়িটি তুলতে ইঞ্জিনটির কৃতকাজ ৫৮,৮০০ জুল।

ঘ) ঐ ব্যক্তি পানি তুলতে সক্ষম হয়েছিলেন কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।
ব্যক্তিটি সফল হবেন কি-না তা নির্ভর করে ইঞ্জিনের ক্ষমতার ওপর। প্রথমে আমাদের ইঞ্জিনের ক্ষমতা ($P$) নির্ণয় করতে হবে।

ইঞ্জিনের ক্ষমতা নির্ণয়:
গাড়ির বেগ, $v = 72$ $kmh^{-1} = \frac{72 \times 1000}{3600} = 20$ $ms^{-1}$
তলের নতি কোণ, $\theta = 1.13^{\circ}$
ধ্রুব বেগে গাড়িটি উপরে ওঠার সময় প্রয়োজনীয় বল, $F = mg\sin\theta$
$\therefore P = Fv = (mg\sin\theta) \cdot v$
$\Rightarrow P = 1200 \times 9.8 \times \sin(1.13^{\circ}) \times 20$
$\Rightarrow P = 1200 \times 9.8 \times 0.01972 \times 20$
$\Rightarrow P \approx 4638.14$ W

পানি তোলার জন্য প্রয়োজনীয় ক্ষমতা ($P'$) নির্ণয়:
পানির ভর, $m_w = 1000$ kg
গভীরতা, $h_w = 100$ m
সময়, $t = 5$ min $= 300$ s
$\therefore P' = \frac{m_w g h_w}{t}$
$\Rightarrow P' = \frac{1000 \times 9.8 \times 100}{300}$
$\Rightarrow P' = \frac{980000}{300} \approx 3266.67$ W

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত:
হিসাব অনুযায়ী, ইঞ্জিনের ক্ষমতা ৪৬৩৮.১৪ W এবং পানি তোলার জন্য প্রয়োজনীয় ক্ষমতা ৩২৬৬.৬৭ W। যেহেতু ইঞ্জিনের ক্ষমতা প্রয়োজনীয় ক্ষমতার চেয়ে বেশি ($P > P'$), সেহেতু ওই ব্যক্তি ইঞ্জিনটি ব্যবহার করে পানি তুলতে সক্ষম হয়েছিলেন।