ক) জড়তার ভ্রামক কাকে বলে?
একটি নির্দিষ্ট ঘূর্ণন অক্ষকে কেন্দ্র করে আবর্তনরত কোনো দৃঢ় বস্তুর প্রতিটি কণার ভর এবং অক্ষ থেকে তাদের প্রত্যেকের দূরত্বের বর্গের গুণফলের সমষ্টিকে ওই অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুটির জড়তার ভ্রামক বলে।

খ) কৌণিক গতিতে গতিশীল কোনো বস্তুর গতিপথের ব্যাসার্ধ ও চক্রগতির ব্যাসার্ধ একই হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।
হ্যাঁ, কৌণিক গতিতে গতিশীল কোনো বস্তুর গতিপথের ব্যাসার্ধ ও চক্রগতির ব্যাসার্ধ একই হতে পারে। যদি বস্তুটি একটি বিন্দু ভর হিসেবে বিবেচনা করা হয় এবং এটি ঘূর্ণন অক্ষ থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব $r$ বজায় রেখে বৃত্তাকার পথে ঘোরে, তবে তার জড়তার ভ্রামক হয় $I = mr^2$। আবার চক্রগতির ব্যাসার্ধের সংজ্ঞানুসারে $I = mk^2$। এই দুই সমীকরণ তুলনা করলে দেখা যায় $k = r$। অর্থাৎ, বিন্দু ভরের ক্ষেত্রে বা সরু বৃত্তাকার রিং-এর ক্ষেত্রে গতিপথের ব্যাসার্ধ ও চক্রগতির ব্যাসার্ধ একই হয়।

গ) দণ্ডটির কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় কর।
এখানে,
সিলিন্ডার ও দণ্ডের ভর, $m = 2.5$ kg
দণ্ডের দৈর্ঘ্য, $L = 250$ cm $= 2.5$ m
দণ্ডের ঘূর্ণন সংখ্যা, $N_2 = 100$ rpm
কৌণিক বেগ, $\omega_2 = \frac{2\pi N_2}{60} = \frac{2\pi \times 100}{60} \approx 10.472$ rad/s

চিত্র-২ অনুযায়ী, দণ্ডটি তার এক প্রান্ত দিয়ে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে ঘুরছে।
দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক, $I_2 = \frac{1}{3} mL^2$
$\Rightarrow I_2 = \frac{1}{3} \times 2.5 \times (2.5)^2$
$\Rightarrow I_2 = \frac{1}{3} \times 2.5 \times 6.25$
$\Rightarrow I_2 = 5.2083$ kg m²

আমরা জানি, কৌণিক ভরবেগ, $L_2 = I_2 \omega_2$
$\Rightarrow L_2 = 5.2083 \times 10.472$
$\Rightarrow L_2 \approx 54.54$ kg m² s^-1
অতএব, দণ্ডটির কৌণিক ভরবেগ ৫৪.৫৪ kg m² s^-1।

ঘ) কোন্ বস্তুর ঘূর্ণন থামানো কঠিনতর হবে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ ব্যাখ্যা কর।
যে বস্তুর কৌণিক ভরবেগ বেশি, সেটির ঘূর্ণন থামানো তত বেশি কঠিনতর হবে।

১ম ক্ষেত্রে (সিলিন্ডার):
ব্যাসার্ধ, $r = \frac{20}{2}$ cm $= 10$ cm $= 0.1$ m
ঘূর্ণন সংখ্যা, $N_1 = 120$ rpm
কৌণিক বেগ, $\omega_1 = \frac{2\pi \times 120}{60} = 4\pi \approx 12.566$ rad/s
নিরেট সিলিন্ডারের জড়তার ভ্রামক, $I_1 = \frac{1}{2} mr^2$
$\Rightarrow I_1 = \frac{1}{2} \times 2.5 \times (0.1)^2 = 0.0125$ kg m²
সিলিন্ডারের কৌণিক ভরবেগ, $L_1 = I_1 \omega_1$
$\Rightarrow L_1 = 0.0125 \times 12.566 \approx 0.157$ kg m² s^-1

২য় ক্ষেত্রে (দণ্ড):
গ-হতে প্রাপ্ত দণ্ডের কৌণিক ভরবেগ, $L_2 \approx 54.54$ kg m² s^-1

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত:
তুলনা করে দেখা যায় যে, $L_2 \gg L_1$। দণ্ডটির দৈর্ঘ্য অনেক বেশি হওয়ায় এবং এটি এক প্রান্ত দিয়ে ঘুরতে থাকায় এর জড়তার ভ্রামক সিলিন্ডারের তুলনায় অনেক গুণ বৃদ্ধি পেয়েছে। ফলে দণ্ডটির কৌণিক ভরবেগও অনেক বেশি হয়েছে। যেহেতু দণ্ডটির কৌণিক ভরবেগ সিলিন্ডার অপেক্ষা অনেক বেশি, সেহেতু দণ্ডটির (চিত্র-২) ঘূর্ণন থামানো কঠিনতর হবে।