(ক) অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে। একে ব্যাসার্ধ ভেক্টরও বলা হয়।

(খ) ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।
ট্রলি ব্যাগ টানার সময় হাতল লম্বা থাকলে অনুভূমিকের সাথে উৎপন্ন কোণ ($\theta$) কমে যায়। আমরা জানি, টানা বলের অনুভূমিক উপাংশ $F \cos \theta$ যা ট্রলিকে সামনে এগিয়ে নেয় এবং উলম্ব উপাংশ $F \sin \theta$ যা ব্যাগের ওজনকে কমিয়ে দেয়। হাতল লম্বা হলে $\theta$ কম হয়, ফলে $\cos \theta$ এর মান বেড়ে যায় এবং $\sin \theta$ এর মানও কার্যকর থাকে। এতে কম বল প্রয়োগ করেই সহজে ট্রলি ব্যাগ টানা সম্ভব হয়।

(গ) কুবেরের নৌকা প্রকৃতপক্ষে কত মানের বেগে অপর পাড়ে পৌঁছালো? নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
কুবেরের নৌকার বেগ, $u = 5.5 ms^{-1}$ (AC বরাবর)
স্রোতের বেগ, $v = 1.2 ms^{-1}$ (স্রোত সর্বদা নদীর পাড় বরাবর থাকে)
উদ্দীপক অনুসারে, $\angle CAB = 120^{\circ}$ এবং AB নদীর প্রস্থ (উলম্ব)।
স্রোতের সাথে AC এর কোণ, $\alpha = 90^{\circ} + (120^{\circ} - 90^{\circ}) = 120^{\circ}$ (অথবা চিত্রানুযায়ী স্রোত ও নৌকার মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 120^{\circ}$)

আমরা জানি, লব্ধি বেগ $w = \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv \cos \alpha}$
$w = \sqrt{5.5^2 + 1.2^2 + 2 \times 5.5 \times 1.2 \times \cos 120^{\circ}}$
$w = \sqrt{30.25 + 1.44 + 13.2 \times (-0.5)}$
$w = \sqrt{31.69 - 6.6} = \sqrt{25.09} \approx 5.01 ms^{-1}$
কুবেরের নৌকা প্রকৃতপক্ষে ৫.০১ $ms^{-1}$ বেগে অপর পাড়ে পৌঁছালো।

(ঘ) সৃজন ও কুবেরের মধ্যে কে আগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।
নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, $t = \frac{d}{u \sin \alpha}$
নদীর প্রস্থ, $d = 400 m$

১. সৃজনের ক্ষেত্রে:
বেগ, $u_s = 6 ms^{-1}$ (AB বরাবর, অর্থাৎ সরাসরি প্রস্থ বরাবর)
কোণ, $\alpha_s = 90^{\circ}$
সময়, $t_s = \frac{400}{6 \sin 90^{\circ}} = \frac{400}{6 \times 1} \approx 66.67 s$

২. কুবেরের ক্ষেত্রে:
বেগ, $u_k = 5.5 ms^{-1}$
কোণ, $\alpha_k = 120^{\circ}$ (স্রোতের সাথে)
সময়, $t_k = \frac{400}{5.5 \sin 120^{\circ}}$
$t_k = \frac{400}{5.5 \times 0.866} = \frac{400}{4.763} \approx 83.98 s$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: দেখা যাচ্ছে যে, $t_s < t_k$। অর্থাৎ সৃজন ৬৬.৬৭ সেকেন্ডে এবং কুবের ৮৩.৯৮ সেকেন্ডে নদী পার হবে। সুতরাং, সৃজন আগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে।