(ক) স্প্রিং ধ্রুবক কাকে বলে?
স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে কোনো স্প্রিংয়ের মুক্ত প্রান্তের একক সরণ ঘটাতে যে পরিমাণ বলের প্রয়োজন হয়, তাকে ওই স্প্রিংয়ের বল ধ্রুবক বা স্প্রিং ধ্রুবক বলে। এর একক $Nm^{-1}$।

(খ) গ্রীষ্মকালে দোলক ঘড়ি ধীরে চলে—ব্যাখ্যা কর।
দোলক ঘড়ির দোলনকাল তার কার্যকর দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের সমানুপাতিক ($T \propto \sqrt{L}$)। গ্রীষ্মকালে তাপমাত্রার বৃদ্ধির ফলে দোলক পিণ্ডের ঝুলাবার তারের কার্যকর দৈর্ঘ্য ($L$) বৃদ্ধি পায়। দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাওয়ার ফলে ঘড়ির দোলনকাল ($T$) বেড়ে যায়, অর্থাৎ একটি দোলন সম্পন্ন করতে ঘড়িটি আগের চেয়ে বেশি সময় নেয়। ফলে ঘড়িটি আগের চেয়ে ধীরে চলে বা সময় হারায়।

(গ) উদ্দীপকের পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
পাহাড়ের পাদদেশে দোলনকাল, $T = 2 s$
পাহাড়ের চূড়ায় প্রতি ঘণ্টায় সময় হারায়, $n = 30 s$
১ ঘণ্টা বা ৩৬০০ সেকেন্ডে দোলন সংখ্যা হওয়ার কথা ছিল, $N = \frac{3600}{2} = 1800$ টি।
কিন্তু সময় হারানোয় দোলন সংখ্যা হবে, $N' = 1800 - \frac{30}{2} = 1785$ টি।
$\therefore$ পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল, $T' = \frac{3600}{1785} \approx 2.0168 s$
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 12800 km = 1.28 \times 10^7 m$

আমরা জানি, পাহাড়ের উচ্চতা $h = R (\frac{T'}{T} - 1)$
$h = 12800 \times (\frac{2.0168}{2} - 1)$
$h = 12800 \times (1.0084 - 1)$
$h = 12800 \times 0.0084 \approx 107.52 km$
পাহাড়ের উচ্চতা ১০৭.৫২ কিমি।

(ঘ) পাহাড়ের চূড়ায় দোলকটির দোলনকাল অপরিবর্তিত রাখতে কী ব্যবস্থা নিতে হবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g'$) কম হওয়ায় দোলনকাল ($T'$) বেড়ে গেছে। দোলনকাল পুনরায় ২ সেকেন্ডে (অপরিবর্তিত) ফিরিয়ে আনতে হলে দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য ($L$) কমাতে হবে।

আমরা জানি, $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
পাহাড়ের চূড়ায় সঠিক সময় পেতে হলে প্রয়োজনীয় দৈর্ঘ্য $L'$ হলে:
$\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{L}{L'}}$
$\frac{2.0168}{2} = \sqrt{\frac{L}{L'}}$
$1.0084 = \sqrt{\frac{L}{L'}}$
$\frac{L}{L'} = (1.0084)^2 \approx 1.01687$
$L' = \frac{L}{1.01687} \approx 0.9834 L$

দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন, $\Delta L = L - 0.9834 L = 0.0166 L$
শতকরা পরিবর্তন $= 0.0166 \times 100\% = 1.66\%$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল অপরিবর্তিত রাখতে হলে দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য প্রায় ১.৬৬% কমাতে হবে। দৈর্ঘ্য হ্রাস করার ফলে দোলনকাল পুনরায় ২ সেকেন্ডে ফিরে আসবে এবং ঘড়িটি সঠিক সময় দেবে।