(ক) অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে। একে ব্যাসার্ধ ভেক্টরও বলা হয়।

(খ) |$\vec{A} \times \vec{B}$| = $\vec{A} \cdot \vec{B}$ হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।
হ্যাঁ, এটি সম্ভব। শর্তানুসারে, $AB \sin \theta = AB \cos \theta$। এখান থেকে পাই $\tan \theta = 1$, অর্থাৎ $\theta = 45^{\circ}$। সুতরাং যদি ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ৪৫° হয়, তবে তাদের ক্রস গুণফলের মান এবং ডট গুণফল সমান হবে।

(গ) নৌকার লব্ধি বেগ কত ছিল?
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ, $u = 6 ms^{-1}$
স্রোতের বেগ, $v = 2 ms^{-1}$
মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha = 70^{\circ}$

আমরা জানি, লব্ধি বেগ $w = \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv \cos \alpha}$
$w = \sqrt{6^2 + 2^2 + 2 \times 6 \times 2 \times \cos 70^{\circ}}$
$w = \sqrt{36 + 4 + 24 \times 0.342}$
$w = \sqrt{40 + 8.208} = \sqrt{48.208} \approx 6.94 ms^{-1}$
নৌকার লব্ধি বেগ ছিল ৬.৯৪ $ms^{-1}$।

(ঘ) লোকটির পক্ষে বাসটি ধরা সম্ভব হবে কিনা—গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
বাসটিকে ধরতে হলে নৌকাকে নদীর অপর পাড়ে পৌঁছাতে যে সময় লাগবে, সেই একই সময়ে বাসটি ওই নির্দিষ্ট বিন্দুতে পৌঁছাতে হবে।
নদীর প্রস্থ, $d = 1 km = 1000 m$
নদী পার হতে সময়, $t = \frac{d}{u \sin \alpha} = \frac{1000}{6 \sin 70^{\circ}}$
$t = \frac{1000}{6 \times 0.9397} = \frac{1000}{5.6382} \approx 177.36 s$

এই সময়ে বাসটির অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_b = v_b \times t = 4 \times 177.36 = 709.44 m$
অপরদিকে, এই সময়ে নৌকার স্রোত বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব (পার্শ্ব সরণ), $s_n = (v + u \cos \alpha) \times t$
$s_n = (2 + 6 \cos 70^{\circ}) \times 177.36$
$s_n = (2 + 6 \times 0.342) \times 177.36$
$s_n = (2 + 2.052) \times 177.36 = 4.052 \times 177.36 \approx 718.66 m$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: দেখা যাচ্ছে যে, নৌকাটি যখন অপর পাড়ে পৌঁছায় তখন নৌকার পার্শ্ব সরণ ($718.66 m$) বাসের অতিক্রান্ত দূরত্বের ($709.44 m$) চেয়ে বেশি। অর্থাৎ বাসটি ওই বিন্দুতে পৌঁছানোর আগেই নৌকাটি সেই স্থান অতিক্রম করে যাবে। যেহেতু বাস ও নৌকার অবস্থান এক হচ্ছে না, তাই লোকটির পক্ষে বাসটি ধরা সম্ভব হবে না।