(ক) বল ধ্রুবক কী?
স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে কোনো স্প্রিংয়ের মুক্ত প্রান্তের একক সরণ ঘটাতে যে পরিমাণ বলের প্রয়োজন হয়, তাকে ওই স্প্রিংয়ের বল ধ্রুবক বলে। একে $k$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

(খ) সরল ছন্দিত স্পন্দনে স্পন্দনশীল কণার ত্বরণ বনাম সরণের লেখচিত্র ব্যাখ্যা কর।
সরল ছন্দিত স্পন্দনের ক্ষেত্রে আমরা জানি, ত্বরণ ($a$) সরণের ($x$) সমানুপাতিক এবং বিপরীতমুখী, অর্থাৎ $a = -\omega^2 x$। এটি একটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ ($y = mx$) নির্দেশ করে। যেহেতু এখানে ঢাল ($-\omega^2$) ঋণাত্মক, তাই লেখচিত্রটি মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা হবে যা দ্বিতীয় ও চতুর্থ চতুর্ভাগ দিয়ে অতিক্রম করবে। এর অর্থ হলো সরণ ধনাত্মক হলে ত্বরণ ঋণাত্মক এবং সরণ ঋণাত্মক হলে ত্বরণ ধনাত্মক হবে।

(গ) সর্বোচ্চ বিস্তারে কণাটির উপর ক্রিয়ারত প্রত্যয়নী বল বের কর।
দেওয়া আছে,
সরণের সমীকরণ, $x = 0.1 \sin(0.5\pi t + \pi/5)$
আদর্শ সমীকরণ $x = A \sin(\omega t + \delta)$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
বিস্তার, $A = 0.1 m$
কৌণিক কম্পাঙ্ক, $\omega = 0.5\pi rads^{-1}$
কণার ভর, $m = 0.1 kg$

আমরা জানি, বল ধ্রুবক $k = m\omega^2$
$k = 0.1 \times (0.5\pi)^2 = 0.1 \times 0.25 \times (3.1416)^2 \approx 0.2467 Nm^{-1}$
সর্বোচ্চ বিস্তারে সরণ $x = A = 0.1 m$
$\therefore$ প্রত্যয়নী বল, $F = kA$
$F = 0.2467 \times 0.1 = 0.02467 N$
সর্বোচ্চ বিস্তারে কণাটির ওপর ক্রিয়ারত প্রত্যয়নী বল $0.02467 N$।

(ঘ) $t = 0.5 s$ ও $t = 0.75 s$ সময়ে কণার যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা যাচাই কর।
সরল ছন্দিত স্পন্দনের ক্ষেত্রে যেকোনো সময়ে মোট যান্ত্রিক শক্তি $E = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$।

১. $t = 0.5 s$ সময়ে যান্ত্রিক শক্তি ($E_1$):
এখানে $m, \omega, A$ ধ্রুবক।
$E_1 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (0.5\pi)^2 \times (0.1)^2$
$E_1 = 0.5 \times 0.1 \times 2.4674 \times 0.01$
$E_1 = 1.2337 \times 10^{-3} J$

২. $t = 0.75 s$ সময়ে যান্ত্রিক শক্তি ($E_2$):
যেহেতু যান্ত্রিক শক্তির সমীকরণে $t$ অনুপস্থিত এবং কণাটি ঘর্ষণহীন অবস্থায় স্পন্দিত হচ্ছে, তাই সময়ের পরিবর্তনে মোট শক্তির কোনো পরিবর্তন হবে না। বিভব শক্তি ও গতিশক্তির সমষ্টি সর্বদা স্থির থাকবে।
$E_2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 = 1.2337 \times 10^{-3} J$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: দেখা যাচ্ছে যে, $t = 0.5 s$ এবং $t = 0.75 s$ উভয় সময়েই কণার মোট যান্ত্রিক শক্তি সমান ($E_1 = E_2$)। সুতরাং, কণাটি যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা সূত্র মেনে চলে।