(ক) ভেক্টর অপারেটর কী?
ভেক্টর অপারেটর হলো একটি গাণিতিক নির্দেশক যা কোনো স্কেলার বা ভেক্টর রাশির ওপর প্রযুক্ত হয়ে নতুন একটি ভেক্টর বা স্কেলার রাশি তৈরি করে। যেমন: ডেল ($\vec{\nabla}$)।

(খ) কেন্দ্রমুখী বল কোন কোন বিষয়ের উপর নির্ভর করে?
আমরা জানি, কেন্দ্রমুখী বল $F = \frac{mv^2}{r}$। সমীকরণটি হতে দেখা যায় যে, কেন্দ্রমুখী বল মূলত তিনটি বিষয়ের ওপর নির্ভর করে:
১. বস্তুর ভর ($m$): ভরের সমানুপাতিক।
২. বস্তুর রৈখিক বেগ ($v$): বেগের বর্গের সমানুপাতিক।
৩. বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ ($r$): ব্যাসার্ধের ব্যস্তানুপাতিক।

(গ) QM এর দূরত্ব নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে,
নদীর প্রস্থ, $PQ = 2 km$
নৌকার বেগ, $v = 5 kmh^{-1}$
স্রোতের বেগ, $u = 3 kmh^{-1}$
চিত্রানুসারে, নৌকাটি $PQ$ (প্রস্থ) এর সাথে $10^{\circ}$ কোণে $PS$ অভিমুখে রওনা দিয়েছে।
সুতরাং, স্রোতের সাথে নৌকার কোণ, $\alpha = 90^{\circ} + 10^{\circ} = 100^{\circ}$

আমরা জানি, নদীর ওপারে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময়, $t = \frac{PQ}{v \cos 10^{\circ}}$
$t = \frac{2}{5 \times 0.9848} \approx 0.4062 h$

এই সময়ে স্রোত বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব (পার্শ্বীয় সরণ), $QM = (u + v \cos \alpha) \times t$
স্রোত বরাবর নৌকার লব্ধি বেগ, $v_x = u + v \cos 100^{\circ}$
$v_x = 3 + 5 \times (-0.1736) = 3 - 0.868 = 2.132 kmh^{-1}$
$\therefore QM = 2.132 \times 0.4062 \approx 0.866 km$
সুতরাং QM এর দূরত্ব $0.866 km$।

(ঘ) PS বরাবর নৌকা চালিয়ে M বিন্দুতে পৌঁছার সময় এবং P থেকে স্রোতহীন অবস্থায় সরাসরি Q-তে পৌঁছার সময়ের পার্থক্য নির্ণয় কর।

১. PS বরাবর চালিয়ে M-এ পৌঁছার সময় ($t_1$):
(গ) হতে প্রাপ্ত, $t_1 = \frac{PQ}{v \cos 10^{\circ}}$
$t_1 = \frac{2}{5 \times 0.9848} \approx 0.4062 h$
মিনিটে নিলে, $t_1 = 0.4062 \times 60 \approx 24.37$ মিনিট।

২. সরাসরি Q-তে পৌঁছার সময় ($t_2$):
স্রোতহীন অবস্থায় সরাসরি Q-তে যেতে হলে নৌকাটি প্রস্থ বরাবর (PQ বরাবর) চালাতে হবে।
এক্ষেত্রে নৌকার বেগ $v = 5 kmh^{-1}$ এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব $PQ = 2 km$।
$\therefore t_2 = \frac{PQ}{v} = \frac{2}{5} = 0.4 h$
মিনিটে নিলে, $t_2 = 0.4 \times 60 = 24$ মিনিট।

৩. সময়ের পার্থক্য:
$\Delta t = t_1 - t_2 = 24.37 - 24 = 0.37$ মিনিট।
সেকেন্ডে নিলে, $0.37 \times 60 \approx 22.2$ সেকেন্ড।

গাণিতিক বিশ্লেষণ: PS বরাবর নৌকা চালিয়ে M বিন্দুতে পৌঁছাতে এবং স্রোতহীন অবস্থায় সরাসরি Q-তে পৌঁছাতে সময়ের পার্থক্য হবে প্রায় ২২.২ সেকেন্ড।