(ক) ভেক্টর ও সমাকলন ব্যবহারে কাজের সংজ্ঞা দাও।
কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত বল $\vec{F}$ এবং ক্ষুদ্র সরণ $d\vec{r}$ হলে, প্রযুক্ত বল দ্বারা সম্পাদিত মোট কাজ হলো বল ও সরণের স্কেলার গুণফলের সমাকলন। অর্থাৎ $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$।

(খ) কোনো যন্ত্রের কর্মদক্ষতা 100% হতে পারে কিনা ব্যাখ্যা কর।
বাস্তবে কোনো যন্ত্রেরই কর্মদক্ষতা 100% হতে পারে না। কারণ যন্ত্র চালানোর সময় প্রদত্ত শক্তির একটি অংশ ঘর্ষণজনিত বাধা অতিক্রম করতে তাপ বা শব্দ শক্তিতে রূপান্তরিত হয়ে অপচয় হয়। ফলে যন্ত্র থেকে প্রাপ্ত কার্যকর শক্তি সর্বদা প্রদত্ত শক্তির চেয়ে কম হয়।

(গ) ১ম পাম্পটির কার্যকর ক্ষমতা কত অশ্বক্ষমতা? নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, কুয়ার গভীরতা $L = 10 m$ এবং ব্যাসার্ধ $r = \frac{1.5}{2} = 0.75 m$
সম্পূর্ণ পানির ভর $M = \pi r^2 L \rho = 3.1416 \times (0.75)^2 \times 10 \times 1000 \approx 17671.5 kg$
কুয়া পানিশূন্য করতে গড় উচ্চতা $h = \frac{10}{2} = 5 m$
সময় $t = 25 \times 60 = 1500 s$

কার্যকর ক্ষমতা $P = \frac{Mgh}{t} = \frac{17671.5 \times 9.8 \times 5}{1500} \approx 577.27 W$
অশ্বক্ষমতায় ($hp$): $P = \frac{577.27}{746} \approx 0.774 hp$
১ম পাম্পের কার্যকর ক্ষমতা $0.774 hp$।

(ঘ) উদ্দীপকের কুয়াটির ১ম এক-তৃতীয়াংশ এবং ৩য় এক-তৃতীয়াংশ পানি শূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময় এক-না ভিন্ন হবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

১ম পাম্প দ্বারা ১ম এক-তৃতীয়াংশ (উপরিভাগের $3.33 m$) পানি উত্তোলনের হিসাব:
পানির ভর $m = \frac{M}{3} = \frac{17671.5}{3} = 5890.5 kg$
গড় গভীরতা $h_1 = \frac{0 + 3.33}{2} = 1.665 m$
১ম পাম্পের ক্ষমতা $P_1 = 577.27 W$
$\therefore t_1 = \frac{mgh_1}{P_1} = \frac{5890.5 \times 9.8 \times 1.665}{577.27} \approx 166.42 s$

২য় পাম্প দ্বারা ৩য় এক-তৃতীয়াংশ (নিচের $6.67 m$ থেকে $10 m$) পানি উত্তোলনের হিসাব:
পানির ভর $m = 5890.5 kg$
গড় গভীরতা $h_3 = \frac{6.67 + 10}{2} = 8.335 m$
২য় পাম্পের ক্ষমতা $P_2 = 0.82 \times 746 = 611.72 W$
$\therefore t_2 = \frac{mgh_3}{P_2} = \frac{5890.5 \times 9.8 \times 8.335}{611.72} \approx 786.58 s$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: দেখা যাচ্ছে $t_1 \neq t_2$। যদিও ৩য় এক-তৃতীয়াংশের ক্ষেত্রে পাম্পের ক্ষমতা বেশি, কিন্তু ওই গভীরতা থেকে পানি তুলতে গড় সরণ অনেক বেশি হওয়ায় প্রয়োজনীয় সময় অনেক বেশি লাগবে। অর্থাৎ সময় ভিন্ন হবে।