প্রদত্ত সমীকরণটি হল $3x^2 + 2x + 7 = 0$ এবং এর মূলগুলি হল $\frac{1}{\alpha}$ ও $\frac{1}{\beta}$। আমরা এমন একটি সমীকরণ গঠন করতে পারি যার মূলগুলি $\alpha$ ও $\beta$। যদি $x$ এই সমীকরণের একটি মূল হয়, তবে $y = \frac{1}{x}$ হবে অন্য সমীকরণের মূল। অর্থাৎ, $x = \frac{1}{y}$ প্রতিস্থাপন করে পাই $3(\frac{1}{y})^2 + 2(\frac{1}{y}) + 7 = 0$। একে সরল করলে হয় $\frac{3}{y^2} + \frac{2}{y} + 7 = 0$। $y^2$ দিয়ে গুণ করলে $3 + 2y + 7y^2 = 0$, বা $7y^2 + 2y + 3 = 0$। এই সমীকরণের মূলগুলি হল $\alpha$ এবং $\beta$। মূলগুলির যোগফল $\alpha + \beta = -\frac{2}{7}$ এবং মূলগুলির গুণফল $\alpha\beta = \frac{3}{7}$। এখন, আমরা $\alpha^2 + \beta^2$ এর মান বের করব। আমরা জানি $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$। মান বসিয়ে পাই: $\alpha^2 + \beta^2 = (-\frac{2}{7})^2 - 2(\frac{3}{7}) = \frac{4}{49} - \frac{6}{7} = \frac{4}{49} - \frac{42}{49} = \frac{4 - 42}{49} = -\frac{38}{49}$।