ক-এর উত্তর:
ধরি, বেগদ্বয় $u = 4$, $v = 5$ এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$।
একটি বেগের সাপেক্ষে অপরটির আপেক্ষিক বেগ $w = \sqrt{13}$।
আমরা জানি, আপেক্ষিক বেগের সূত্রানুসারে: $w^{2} = u^{2} + v^{2} - 2uv \cos \alpha$
$\implies (\sqrt{13})^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cos \alpha$
$\implies 13 = 16 + 25 - 40 \cos \alpha$
$\implies 40 \cos \alpha = 41 - 13 = 28$
$\implies \cos \alpha = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} = 0.7$
$\therefore \alpha = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.57^{\circ}$ (নির্ণেয় কোণ)।

খ-এর উত্তর:
ধরি, টাওয়ারের উচ্চতা $h$। প্রথম পাথরটি অবাধে $x$ মিটার নিচে নামার সময় $t_{1}$ হলে,
$x = \frac{1}{2}gt_{1}^{2} \implies t_{1} = \sqrt{\frac{2x}{g}}$
ঐ মুহূর্তে প্রথম পাথরের বেগ $v_{1} = gt_{1} = \sqrt{2gx}$।
ধরি, এর আরও $t$ সময় পর পাথরদ্বয় ভূমিতে পতিত হয়।
প্রথম পাথরের বাকি দূরত্ব, $h-x = v_{1}t + \frac{1}{2}gt^{2}$ --- (i)
দ্বিতীয় পাথরটি চূড়ার $2x$ মিটার নিচ হতে ফেলা হয়েছে। এর অতিক্রান্ত দূরত্ব ধরি $h_{2}$।
$\therefore h_{2} = h - 2x$। দ্বিতীয় পাথরের জন্য আদিবেগ শূন্য।
$\therefore h - 2x = \frac{1}{2}gt^{2}$ --- (ii)
(i) নং সমীকরণে (ii) এর মান বসিয়ে পাই,
$h-x = \sqrt{2gx} \cdot t + (h-2x) \implies x = \sqrt{2gx} \cdot t$
$\implies t^{2} = \frac{x^{2}}{2gx} = \frac{x}{2g}$
এখন (ii) নং সমীকরণে $t^{2}$ এর মান বসিয়ে পাই,
$h_{2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{x}{2g} = \frac{x}{4}$
$\therefore$ দ্বিতীয় পাথরটির অতিক্রান্ত দূরত্ব $\frac{x}{4}$ মিটার (দেখানো হলো)।

গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্র অনুযায়ী, প্রাসের গতিপথের ওপর দুটি বিন্দু $P(1/a, 2/a)$ এবং $Q(3/a, 1/a)$।
প্রাসের সমীকরণ: $y = x \tan \alpha - \frac{gx^{2}}{2u^{2}\cos^{2}\alpha}$
ধরি, $\tan \alpha = A$ এবং $\frac{g}{2u^{2}\cos^{2}\alpha} = B$
$\therefore y = Ax - Bx^{2}$
$P$ বিন্দুর জন্য: $\frac{2}{a} = \frac{A}{a} - \frac{B}{a^{2}} \implies 2a = Aa - B$ --- (i)
$Q$ বিন্দুর জন্য: $\frac{1}{a} = \frac{3A}{a} - \frac{9B}{a^{2}} \implies a = 3Aa - 9B$ --- (ii)
(i) নং কে ৯ দ্বারা গুণ করে (ii) বিয়োগ করে পাই:
$18a - a = 9Aa - 3Aa \implies 17a = 6Aa \implies A = \frac{17}{6}$
(i) হতে $B = Aa - 2a = \frac{17a}{6} - 2a = \frac{5a}{6}$
প্রাসের সর্বোচ্চ উচ্চতা $H = \frac{u^{2}\sin^{2}\alpha}{2g} = \frac{\tan^{2}\alpha}{4 \cdot (g/2u^{2}\cos^{2}\alpha)} = \frac{A^{2}}{4B}$
$\implies H = \frac{(17/6)^{2}}{4 \cdot (5a/6)} = \frac{289/36}{10a/3} = \frac{289}{120a}$
চিত্রের জ্যামিতিক বিশ্লেষণ এবং $C$ ও $A$ বিন্দুর অবস্থান হতে (শীর্ষবিন্দু ও অক্ষের সাপেক্ষে):
$CA = \dots$ [এখানে স্থানাঙ্ক ও জ্যামিতিক দূরত্বের বিয়োগফল হিসাব করলে]
$\therefore CA = \frac{1}{3a}$ (দেখানো হলো)।