ক-এর উত্তর:
ধরি, বলদ্বয় $P$ ও $Q$ এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$।
শর্তমতে, লব্ধি $R = \frac{Q}{3}$ এবং এটি $P$ বলের সাথে লম্ব।
$\therefore \tan 90^{\circ} = \frac{Q \sin \alpha}{P + Q \cos \alpha} \implies P + Q \cos \alpha = 0 \implies \cos \alpha = -\frac{P}{Q}$ --- (i)
আবার, $R^{2} = P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos \alpha$
$\implies (\frac{Q}{3})^{2} = P^{2} + Q^{2} + 2PQ (-\frac{P}{Q})$
$\implies \frac{Q^{2}}{9} = P^{2} + Q^{2} - 2P^{2} = Q^{2} - P^{2}$
$\implies P^{2} = Q^{2} - \frac{Q^{2}}{9} = \frac{8Q^{2}}{9}$
$\implies \frac{P^{2}}{Q^{2}} = \frac{8}{9}$
$\therefore \frac{P}{Q} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
অর্থাৎ বলদ্বয়ের অনুপাত $2\sqrt{2} : 3$ (দেখানো হলো)।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, তক্তার দৈর্ঘ্য $AB = 4a$ এবং ওজন $W$ যা মধ্যবিন্দু $G$ তে ক্রিয়া করে।
চিত্র হতে, খুটি দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $CD = a$। ধরি, $AC = x$ এবং $DB = y$।
$\therefore x + a + y = 4a \implies x + y = 3a$। প্রতিসাম্যের কারণে $x = y = 1.5a$।
তক্তার মধ্যবিন্দু $G$ হতে খুটিদ্বয়ের দূরত্ব $CG = DG = 0.5a$।
'A' বিন্দুতে $W_{1}$ ঝুলিয়ে দিলে তক্তাটি $C$ খুটির সাপেক্ষে উল্টে যাওয়ার উপক্রম হবে। তখন $D$ খুটির প্রতিক্রিয়া শূন্য হবে।
$C$ বিন্দুর সাপেক্ষে ভ্রামক নিয়ে পাই, $W_{1} \times AC = W \times CG$
$\implies W_{1} \times 1.5a = W \times 0.5a \implies 1.5W_{1} = 0.5W \implies W = 3W_{1}$
$\therefore \frac{W_{1}}{W+W_{1}} = \frac{W_{1}}{3W_{1}+W_{1}} = \frac{1}{4}$ --- (i)
আবার, 'B' বিন্দুতে $W_{2}$ ঝুলিয়ে দিলে তক্তাটি $D$ খুটির সাপেক্ষে উল্টে যাওয়ার উপক্রম হবে।
$D$ বিন্দুর সাপেক্ষে ভ্রামক নিয়ে পাই, $W_{2} \times BD = W \times DG$
$\implies W_{2} \times 1.5a = W \times 0.5a \implies 1.5W_{2} = 0.5W \implies W = 3W_{2}$
$\therefore \frac{W_{2}}{W+W_{2}} = \frac{W_{2}}{3W_{2}+W_{2}} = \frac{1}{4}$ --- (ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
$\frac{W_{1}}{W+W_{1}} + \frac{W_{2}}{W+W_{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ (প্রমাণিত)।

গ-এর উত্তর:
ধরি, $Q$ ও $R$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$। শর্তমতে, $R$ ও $P$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\frac{\alpha}{2}$।
$\therefore P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $= 360^{\circ} - (\alpha + \frac{\alpha}{2}) = 360^{\circ} - \frac{3\alpha}{2}$।
লামীর সূত্র হতে পাই,
$\frac{P}{\sin \alpha} = \frac{Q}{\sin(\alpha/2)} = \frac{R}{\sin(360^{\circ} - 3\alpha/2)}$
$\implies \frac{P}{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)} = \frac{Q}{\sin(\alpha/2)}$
$\implies P = 2Q \cos(\alpha/2) \implies \cos(\alpha/2) = \frac{P}{2Q}$ --- (i)
আবার প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত হতে,
$\frac{P}{\sin \alpha} = \frac{R}{-\sin(3\alpha/2)}$
$\implies \frac{P}{\sin \alpha} = \frac{-R}{3\sin(\alpha/2) - 4\sin^{3}(\alpha/2)}$
$\implies \frac{P}{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)} = \frac{-R}{\sin(\alpha/2)(3 - 4\sin^{2}(\alpha/2))}$
$\implies \frac{P}{2\cos(\alpha/2)} = \frac{-R}{3 - 4(1-\cos^{2}(\alpha/2))} = \frac{-R}{4\cos^{2}(\alpha/2) - 1}$
(i) হতে $\cos(\alpha/2)$ এর মান বসিয়ে পাই,
$\frac{P}{2(P/2Q)} = \frac{-R}{4(P^{2}/4Q^{2}) - 1}$
$\implies Q = \frac{-R}{(P^{2}-Q^{2})/Q^{2}} = \frac{-RQ^{2}}{P^{2}-Q^{2}}$
$\implies 1 = \frac{-RQ}{P^{2}-Q^{2}} \implies P^{2} - Q^{2} = -QR$
$\therefore P^{2} = Q^{2} - QR = Q(Q - R)$ (দেখানো হলো)।