ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $8x^2 + 9y^2 - 24xy + 240x - 170y + 175 = 0$
একে কনিকের সাধারণ সমীকরণ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
$a = 8, b = 9, h = -12$
এখন, $h^2 - ab = (-12)^2 - (8 \times 9) = 144 - 72 = 72$
যেহেতু $h^2 - ab > 0$ এবং $\Delta \neq 0$ (যাচাইযোগ্য), সেহেতু কনিকটি একটি অধিবৃত্ত।

খ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, উপকেন্দ্র $S(2, -1)$, নিয়ামক রেখা $2x - y - 9 = 0$ এবং কনিকের ওপর একটি বিন্দু $P(1, -2)$।
ধরি, কনিকটির উৎকেন্দ্রিকতা $e$। কনিকের সংজ্ঞামতে, $SP = e \cdot PM$
এখানে, $SP = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-(-2))^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
এবং $P(1, -2)$ হতে নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্ব $PM = \frac{|2(1) - (-2) - 9|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 2 - 9|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
$\therefore \sqrt{2} = e \cdot \sqrt{5} \implies e^2 = 2/5$

এখন কনিকের ওপর যেকোনো বিন্দু $(x, y)$ হলে, $S(x, y)^2 = e^2 \cdot M(x, y)^2$
বা, $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{(2x - y - 9)^2}{5}$
বা, $25(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1) = 2(4x^2 + y^2 + 81 - 4xy + 18y - 36x)$
বা, $25x^2 + 25y^2 - 100x + 50y + 125 = 8x^2 + 2y^2 + 162 - 8xy + 36y - 72x$
বা, $17x^2 + 8xy + 23y^2 - 28x + 14y - 37 = 0$
এটিই কনিকটির নির্ণেয় সমীকরণ।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $p = 3, q = 2, r = 11$।
$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয় $S(3, 2)$ এবং $S'(11, 2)$।
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $2ae = \sqrt{(11-3)^2 + (2-2)^2} = 8 \implies ae = 4$
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য $2b = q = 2 \implies b = 1$।
আমরা জানি, $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$
বা, $1^2 = a^2 - 4^2 \implies a^2 = 1 + 16 = 17$
উপবৃত্তটির কেন্দ্র $C = (\frac{3+11}{2}, \frac{2+2}{2}) = (7, 2)$।
যেহেতু উপকেন্দ্রদ্বয়ের কোটি সমান, তাই বৃহৎ অক্ষ x-অক্ষের সমান্তরাল।
$\therefore$ উপবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{(x-7)^2}{a^2} + \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1$
বা, $\frac{(x-7)^2}{17} + \frac{(y-2)^2}{1} = 1$
বা, $(x - 7)^2 + 17(y - 2)^2 = 17$
বা, $x^2 - 14x + 49 + 17(y^2 - 4y + 4) = 17$
বা, $x^2 + 17y^2 - 14x - 68y + 100 = 0$ (নির্ণেয় সমীকরণ)