ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ: $25x^{2} - 16y^{2} = 400$
বা, $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{25} = 1$
এখানে, $a^{2} = 16 \implies a = 4$ এবং $b^{2} = 25 \implies b = 5$
উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{41}}{4}$
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $= (\pm ae, 0) = (\pm 4 \times \frac{\sqrt{41}}{4}, 0) = (\pm \sqrt{41}, 0)$
$\therefore$ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\pm \sqrt{41}, 0)$।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র $S(3, -1)$, দিকাক্ষ $x - 7 = 0$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{1}{\sqrt{5}}$।
কনিকের ওপর যে কোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে, কনিকের সংজ্ঞানুসারে $SP = e \cdot PM$
বা, $SP^{2} = e^{2} \cdot PM^{2}$
বা, $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = (\frac{1}{\sqrt{5}})^{2} \cdot (\frac{x - 7}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}})^{2}$
বা, $x^{2} - 6x + 9 + y^{2} + 2y + 1 = \frac{1}{5} (x - 7)^{2}$
বা, $5(x^{2} + y^{2} - 6x + 2y + 10) = x^{2} - 14x + 49$
বা, $5x^{2} + 5y^{2} - 30x + 10y + 50 - x^{2} + 14x - 49 = 0$
বা, $4x^{2} + 5y^{2} - 16x + 10y + 1 = 0$
এটিই নির্ণেয় কনিকের (উপবৃত্ত) সমীকরণ।

গ-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $4x^{2} - 9y^{2} - 16x + 18y - 29 = 0$
বা, $4(x^{2} - 4x) - 9(y^{2} - 2y) = 29$
বা, $4(x^{2} - 4x + 4) - 9(y^{2} - 2y + 1) = 29 + 16 - 9$
বা, $4(x - 2)^{2} - 9(y - 1)^{2} = 36$
বা, $\frac{(x - 2)^{2}}{9} - \frac{(y - 1)^{2}}{4} = 1$
যেহেতু সমীকরণটি $\frac{X^{2}}{a^{2}} - \frac{Y^{2}}{b^{2}} = 1$ আকারের, তাই কনিকটি একটি অধিবৃত্ত।

এখানে $a^{2} = 9 \implies a = 3$ এবং $b^{2} = 4 \implies b = 2$।
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ: $\frac{X}{a} \pm \frac{Y}{b} = 0$
বা, $\frac{x - 2}{3} \pm \frac{y - 1}{2} = 0$
ধণাত্মক চিহ্ন নিয়ে: $2(x - 2) + 3(y - 1) = 0 \implies 2x + 3y - 7 = 0$
ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে: $2(x - 2) - 3(y - 1) = 0 \implies 2x - 3y - 1 = 0$
$\therefore$ অসীমতটদ্বয়ের সমীকরণ: $2x + 3y - 7 = 0$ এবং $2x - 3y - 1 = 0$।