ক-এর উত্তর:
এখানে, বেলুনের বেগ (পাথরের আদিবেগ), $u = 20 ms^{-1}$ (উর্ধ্বমুখী)
পতনের সময়, $t = 15 s$
অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 ms^{-2}$ (নিম্নমুখী)
ধরি, বেলুনের উচ্চতা $= h$

উর্ধ্বগামী বস্তুর ক্ষেত্রে আমরা জানি,
$-h = ut - \frac{1}{2}gt^{2}$
বা, $-h = (20 \times 15) - (0.5 \times 9.8 \times 15^{2})$
বা, $-h = 300 - 1102.5$
বা, $-h = -802.5$
বা, $h = 802.5 m$

সুতরাং, পাথর খণ্ডটি $802.5 m$ উচ্চতা থেকে ফেলা হয়েছিল।

খ-এর উত্তর:
ধরি, বাসের বেগ $\vec{v_{b}} = 60\hat{i}$ (পূর্বদিক বরাবর x-অক্ষ ধরে)
যাত্রীর সাপেক্ষে বাতাসের আপেক্ষিক বেগ $\vec{v_{aw}}$।
বাতাস উত্তর-পূর্ব দিক হতে আসছে, অর্থাৎ এটি দক্ষিণ-পশ্চিম দিকে যাচ্ছে।
উত্তর-পূর্ব দিকের সাথে x-অক্ষের কোণ $45^\circ + 180^\circ = 225^\circ$।
$\vec{v_{aw}} = 30\sqrt{2} \cos 225^\circ \hat{i} + 30\sqrt{2} \sin 225^\circ \hat{j}$
বা, $\vec{v_{aw}} = 30\sqrt{2} (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{i} + 30\sqrt{2} (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{j} = -30\hat{i} - 30\hat{j}$

আমরা জানি, আপেক্ষিক বেগ $\vec{v_{aw}} = \vec{v_{w}} - \vec{v_{b}}$
$\therefore \vec{v_{w}} = \vec{v_{aw}} + \vec{v_{b}}$
বা, $\vec{v_{w}} = (-30\hat{i} - 30\hat{j}) + 60\hat{i} = 30\hat{i} - 30\hat{j}$

বাতাসের প্রকৃত বেগের মান, $v_{w} = \sqrt{30^{2} + (-30)^{2}} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \approx 42.43 km/h$
দিক, $\tan \theta = \frac{-30}{30} = -1 \implies \theta = -45^\circ$ বা দক্ষিণ-পূর্ব দিক।
সুতরাং, বাতাসের প্রকৃত বেগ $42.43 km/h$ এবং এটি দক্ষিণ-পূর্ব দিকে প্রবাহিত হচ্ছে।

গ-এর উত্তর:
ধরি, গন্তব্যে পৌঁছাতে সময় লাগে $t$।
১ম মোটরসাইকেলের ক্ষেত্রে: $S = u_{1}t + \frac{1}{2}at^{2}$ --- (i)
২য় মোটরসাইকেলের ক্ষেত্রে: $S = u_{2}t + \frac{1}{2}bt^{2}$ --- (ii)

(i) ও (ii) হতে পাই, $u_{1}t + \frac{1}{2}at^{2} = u_{2}t + \frac{1}{2}bt^{2}$
বা, $(u_{1} - u_{2})t = \frac{1}{2}(b - a)t^{2}$
বা, $t = \frac{2(u_{1} - u_{2})}{b - a}$ [যেহেতু $t \neq 0$]

এখন $t$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$S = u_{1} [\frac{2(u_{1} - u_{2})}{b - a}] + \frac{1}{2}a [\frac{2(u_{1} - u_{2})}{b - a}]^{2}$
বা, $S = \frac{2u_{1}(u_{1} - u_{2})}{b - a} + \frac{2a(u_{1} - u_{2})^{2}}{(b - a)^{2}}$
বা, $S = \frac{2(u_{1} - u_{2}) \{u_{1}(b - a) + a(u_{1} - u_{2})\}}{(b - a)^{2}}$
বা, $S(b - a)^{2} = 2(u_{1} - u_{2}) \{u_{1}b - u_{1}a + u_{1}a - u_{2}a\}$
বা, $S(a - b)^{2} = 2(u_{1} - u_{2}) (u_{1}b - u_{2}a)$ (দেখানো হলো)