ক) বিস্তার না করে প্রমাণ কর যে, $\begin{vmatrix} 1 & bc & bc(b+c) \\ 1 & ca & ca(c+a) \\ 1 & ab & ab(a+b) \end{vmatrix} = 0$।

ধরি, $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & bc & bc(b+c) \\ 1 & ca & ca(c+a) \\ 1 & ab & ab(a+b) \end{vmatrix}$

প্রথম সারিকে $a$, দ্বিতীয় সারিকে $b$ এবং তৃতীয় সারিকে $c$ দ্বারা গুণ করে পাই (মান অপরিবর্তিত রাখতে বাইরে $\frac{1}{abc}$ দ্বারা ভাগ করতে হবে):
$\Delta = \frac{1}{abc} \begin{vmatrix} a & abc & abc(b+c) \\ b & abc & abc(c+a) \\ c & abc & abc(a+b) \end{vmatrix}$

এখন দ্বিতীয় কলাম থেকে $abc$ এবং তৃতীয় কলাম থেকে $abc$ সাধারণ (common) নিয়ে পাই:
$\Delta = \frac{(abc)(abc)}{abc} \begin{vmatrix} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{vmatrix}$
$=> \Delta = abc \begin{vmatrix} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{vmatrix}$

১ম কলামের সাথে ৩য় কলাম যোগ করি, অর্থাৎ $C_1' = C_1 + C_3$ প্রয়োগ করে পাই:
$\Delta = abc \begin{vmatrix} a+b+c & 1 & b+c \\ a+b+c & 1 & c+a \\ a+b+c & 1 & a+b \end{vmatrix}$

১ম কলাম থেকে $(a+b+c)$ সাধারণ নিয়ে পাই:
$\Delta = abc(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & b+c \\ 1 & 1 & c+a \\ 1 & 1 & a+b \end{vmatrix}$

যেহেতু নির্ণায়কটির ১ম ও ২য় কলাম সর্বসম ($C_1 = C_2$), সেহেতু নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী এর মান শূন্য ($0$)।
$\Delta = abc(a+b+c) \cdot 0 = 0$

(প্রমাণিত)

---

খ) দেখাও যে, $\text{\det } A = (a^2 + b^2 + c^2)(a + b + c)(a - b)(b - c)(c - a)$।

দেওয়া আছে, $A = \begin{pmatrix} (b+c)^2 & a^2 & bc \\ (c+a)^2 & b^2 & ca \\ (a+b)^2 & c^2 & ab \end{pmatrix}$
$\text{\det } A = \begin{vmatrix} (b+c)^2 & a^2 & bc \\ (c+a)^2 & b^2 & ca \\ (a+b)^2 & c^2 & ab \end{vmatrix}$

১ম কলামের সাথে ২য় কলাম যোগ করে এবং ৩য় কলামকে $2$ দ্বারা গুণ করে বিয়োগ করি, অর্থাৎ $C_1' = C_1 + C_2 - 2C_3$ প্রয়োগ করে পাই:
$\text{\det } A = \begin{vmatrix} b^2+2bc+c^2+a^2-2bc & a^2 & bc \\ c^2+2ca+a^2+b^2-2ca & b^2 & ca \\ a^2+2ab+b^2+c^2-2ab & c^2 & ab \end{vmatrix}$
$=> \text{\det } A = \begin{vmatrix} a^2+b^2+c^2 & a^2 & bc \\ a^2+b^2+c^2 & b^2 & ca \\ a^2+b^2+c^2 & c^2 & ab \end{vmatrix}$

১ম কলাম থেকে $(a^2+b^2+c^2)$ সাধারণ নিয়ে পাই:
$\text{\det } A = (a^2+b^2+c^2) \begin{vmatrix} 1 & a^2 & bc \\ 1 & b^2 & ca \\ 1 & c^2 & ab \end{vmatrix}$

এখন সারি অপারেশন $R_1' = R_1 - R_2$ এবং $R_2' = R_2 - R_3$ প্রয়োগ করে পাই:
$\text{\det } A = (a^2+b^2+c^2) \begin{vmatrix} 0 & a^2-b^2 & bc-ca \\ 0 & b^2-c^2 & ca-ab \\ 1 & c^2 & ab \end{vmatrix}$
$=> \text{\det } A = (a^2+b^2+c^2) \begin{vmatrix} 0 & (a-b)(a+b) & -c(a-b) \\ 0 & (b-c)(b+c) & -a(b-c) \\ 1 & c^2 & ab \end{vmatrix}$

১ম সারি থেকে $(a-b)$ এবং ২য় সারি থেকে $(b-c)$ সাধারণ নিয়ে পাই:
$\text{\det } A = (a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c) \begin{vmatrix} 0 & a+b & -c \\ 0 & b+c & -a \\ 1 & c^2 & ab \end{vmatrix}$

১ম কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই:
$\text{\det } A = (a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} a+b & -c \\ b+c & -a \end{vmatrix}$
$=> \text{\det } A = (a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c) \{-a(a+b) - (-c)(b+c)\}$
$=> \text{\det } A = (a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c) \{-a^2 - ab + bc + c^2\}$
$=> \text{\det } A = (a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c) \{(c^2 - a^2) + (bc - ab)\}$
$=> \text{\det } A = (a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c) \{(c-a)(c+a) + b(c-a)\}$
$=> \text{\det } A = (a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c)(c-a)(c+a+b)$
$=> \text{\det } A = (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

(দেখানো হলো)

---

গ) $BC = D$ হলে ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণজোট সমাধান কর।

দেওয়া আছে, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

ম্যাট্রিক্সের গুণন $BC = D$ হতে পাই:
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$=> \begin{pmatrix} 1(x) + 0(y) + 1(z) \\ 0(x) + 2(y) + 0(z) \\ 3(x) + 0(y) + 1(z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$=> \begin{pmatrix} x + z \\ 2y \\ 3x + z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

সহগসমূহ সমীকৃত করে গঠিত সমীকরণজোট:
$1x + 0y + 1z = 1$
$0x + 2y + 0z = 2$
$3x + 0y + 1z = 1$

প্রধান নির্ণায়ক, $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
$=> \Delta = 1(2-0) - 0 + 1(0-6)$
$=> \Delta = 2 - 6 = -4$

$\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
যেহেতু ১ম ও ৩য় কলাম সর্বসম, তাই এর মান শূন্য।
$=> \Delta_x = 0$

$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
২য় সারি বরাবর বিস্তার করে পাই:
$=> \Delta_y = 2(1-3) = 2(-2) = -4$

$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
২য় কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই:
$=> \Delta_z = 2(1-3) = 2(-2) = -4$

ক্রেমারের নিয়ম অনুসারে:
$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{0}{-4} = 0$
$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-4}{-4} = 1$
$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-4}{-4} = 1$

নির্ণেয় সমাধান: $(x, y, z) = (0, 1, 1)$