ক) $\int (4-3x)^{\frac{3}{2}} dx$ এর মান নির্ণয় কর।

ধরি, $I = \int (4-3x)^{\frac{3}{2}} dx$

আমরা জানি, $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + c$
এখানে $a = -3, b = 4$ এবং $n = \frac{3}{2}$।

$=> I = \frac{(4-3x)^{\frac{3}{2} + 1}}{-3 \cdot (\frac{3}{2} + 1)} + c$
$=> I = \frac{(4-3x)^{\frac{5}{2}}}{-3 \cdot \frac{5}{2}} + c$
$=> I = -\frac{2}{15} (4-3x)^{\frac{5}{2}} + c$

উত্তর: $-\frac{2}{15} (4-3x)^{\frac{5}{2}} + c$

---

খ) $\int_0^{\pi/2} \{f(x)\}^2 f(3x) dx$ এর মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক হতে পাই, $f(x) = \sin x$
সুতরাং, $I = \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \sin 3x dx$

আমরা জানি, $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$
$=> I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (2\sin^2 x) \sin 3x dx$
$=> I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2x) \sin 3x dx$
$=> I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin 3x dx - \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \cos 2x \sin 3x dx$
$=> I = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos 3x}{3} \right]_0^{\pi/2} - \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} 2\sin 3x \cos 2x dx$

আমরা জানি, $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$
$=> I = -\frac{1}{6} [\cos\frac{3\pi}{2} - \cos 0] - \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} (\sin 5x + \sin x) dx$
$=> I = -\frac{1}{6} [0 - 1] - \frac{1}{4} \left[ -\frac{\cos 5x}{5} - \cos x \right]_0^{\pi/2}$
$=> I = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \left[ \frac{\cos 5x}{5} + \cos x \right]_0^{\pi/2}$
$=> I = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \left[ (\frac{\cos\frac{5\pi}{2}}{5} + \cos\frac{\pi}{2}) - (\frac{\cos 0}{5} + \cos 0) \right]$
$=> I = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \left[ (0 + 0) - (\frac{1}{5} + 1) \right]$
$=> I = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \left[ -\frac{6}{5} \right]$
$=> I = \frac{1}{6} - \frac{3}{10}$
$=> I = \frac{5 - 9}{30} = -\frac{4}{30} = -\frac{2}{15}$

উত্তর: $-\frac{2}{15}$

---

গ) $g(x, y) = 0$ এবং $h(x) = 0$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $g(x, y) = 9x^2 + 25y^2 - 225 = 0$
$=> 9x^2 + 25y^2 = 225$
উভয়পক্ষকে $225$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$=> \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$
$=> \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \cdots\cdots (i)$
এটি একটি উপবৃত্ত যার কেন্দ্র $(0,0)$, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য $a=5$ এবং ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য $b=3$।

এবং $h(x) = x - 3 = 0 \implies x = 3 \cdots\cdots (ii)$
এটি $Y$-অক্ষের সমান্তরাল একটি সরলরেখা।

$(i)$ নং হতে পাই, $\frac{y^2}{9} = 1 - \frac{x^2}{25} = \frac{25-x^2}{25}$
$=> y = \pm \frac{3}{5}\sqrt{25-x^2}$

উপবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল $A$:
$A = 2 \int_{3}^{5} y dx$
$=> A = 2 \int_{3}^{5} \frac{3}{5}\sqrt{25-x^2} dx$
$=> A = \frac{6}{5} \int_{3}^{5} \sqrt{5^2-x^2} dx$

আমরা জানি, $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$
$=> A = \frac{6}{5} \left[ \frac{x\sqrt{25-x^2}}{2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) \right]_3^5$
$=> A = \frac{3}{5} \left[ x\sqrt{25-x^2} + 25\sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) \right]_3^5$
$=> A = \frac{3}{5} \left[ \left(5\sqrt{0} + 25\sin^{-1}(1)\right) - \left(3\sqrt{25-9} + 25\sin^{-1}(\frac{3}{5})\right) \right]$
$=> A = \frac{3}{5} \left[ 25 \cdot \frac{\pi}{2} - 3 \cdot 4 - 25\sin^{-1}(0.6) \right]$
$=> A = \frac{3}{5} \left[ \frac{25\pi}{2} - 12 - 25\sin^{-1}(0.6) \right]$
$=> A = \frac{15\pi}{2} - \frac{36}{5} - 15\sin^{-1}(0.6)$

উত্তর: $\frac{15\pi}{2} - \frac{36}{5} - 15\sin^{-1}(0.6)$ বর্গ একক।






5
x=3
9x²+25y²=225

চিত্র: উপবৃত্ত $9x^2 + 25y^2 = 225$ এবং সরলরেখা $x = 3$ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশটি ছায়াযুক্ত করে প্রদর্শন করা হলো।