ক) কী শর্তে দুইটি ম্যাট্রিক্সের যোগ ও গুণ করা সম্ভব?

১. যোগের শর্ত: দুইটি ম্যাট্রিক্সের যোগফল তখনই সংজ্ঞায়িত হবে যখন তাদের ক্রম (Order) একই হয় অর্থাৎ উভয় ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান থাকে।
২. গুণের শর্ত: দুইটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল তখনই সম্ভব যখন প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হয়।

উত্তর: যোগের জন্য একই ক্রম এবং গুণের জন্য ১মটির কলাম = ২য়টির সারি হতে হবে।

---

খ) $AB = C$ হলে ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটটির সমাধান কর।

দেওয়া আছে, $AB = C$
$=> \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix}$
সমীকরণ জোটটি হলো:
$2x - y + 3z = 2$
$x + y + z = 5$
$x - y + 2z = 4$

এখানে, $D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2(2 + 1) + 1(2 - 1) + 3(-1 - 1) = 6 + 1 - 6 = 1$

$D_x = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 5 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2(2 + 1) + 1(10 - 4) + 3(-5 - 4) = 6 + 6 - 27 = -15$

$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2(10 - 4) - 2(2 - 1) + 3(4 - 5) = 12 - 2 - 3 = 7$

$D_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 2(4 + 5) + 1(4 - 5) + 2(-1 - 1) = 18 - 1 - 4 = 13$

ক্রেমারের সূত্রানুসারে:
$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-15}{1} = -15$
$y = \frac{D_y}{D} = \frac{7}{1} = 7$
$z = \frac{D_z}{D} = \frac{13}{1} = 13$

উত্তর: $(x, y, z) = (-15, 7, 13)$

---

গ) $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$
$|A| = 1$ (খ-নং হতে প্রাপ্ত)

$A$ ম্যাট্রিক্সের সহগুণকসমূহ:
$A_{11} = 3, A_{12} = -1, A_{13} = -2$
$A_{21} = -(-1) = 1, A_{22} = 1, A_{23} = -(-1) = 1$
$A_{31} = -4, A_{32} = 1, A_{33} = 3$

সহগুণক ম্যাট্রিক্স $= \begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -4 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স, $Adj(A) = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -4 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

আমরা জানি, $A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A)$
$=> A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & 1 & -4 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -4 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

উত্তর: $A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -4 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$