ID#6730 HSC Higher Math 2nd MCQ (Barisal 2025)

প্রদত্ত বিকল্পগুলি বিশ্লেষণ করা যাক:
a. '$\sin^-1x$ + $\cos^-1x$ = $\pi/2$; x > 1': $\sin^{-1}x$ এবং $\cos^{-1}x$ ফাংশনগুলির ডোমেইন $[-1, 1]$। তাই $x > 1$ এর জন্য এই ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত নয়। সুতরাং, (a) মিথ্যা।
b. '$2sin^-1x$ = $\sin^-1(2x\sqrt{1-x^2})$; x > 1': একই কারণে, $x > 1$ এর জন্য $\sin^{-1}x$ সংজ্ঞায়িত নয়। সুতরাং, (b) মিথ্যা।
d. '$\cos(\tan^-1x$ + $\tan^-1(1/x)) = 1$; x $\in$ R': আমরা জানি, $\tan^{-1}x + \tan^{-1}(1/x) = \pi/2$ যখন $x > 0$ এবং $-\pi/2$ যখন $x < 0$। $x=0$ এর জন্য এটি সংজ্ঞায়িত নয়। উভয় ক্ষেত্রেই $\cos(\pm\pi/2) = 0$ হয়, যা 1 এর সমান নয়। সুতরাং, (d) মিথ্যা।
c. '$2tan^-1x$ = $\sin^-1(2x/(1+x^2))$; x $\in$ R': এই অভেদটি সাধারণত $2\tan^{-1}x = \sin^{-1}(2x/(1+x^2))$ হিসেবে পরিচিত। তবে, এটি শুধুমাত্র $|x| \le 1$ এর জন্য সত্য। যখন $x > 1$ বা $x < -1$ হয়, তখন এটি সত্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি $x = \sqrt{3}$ হয়, তাহলে $2\tan^{-1}\sqrt{3} = 2(\pi/3) = 2\pi/3$, কিন্তু $\sin^{-1}(2\sqrt{3}/(1+(\sqrt{3})^2)) = \sin^{-1}(2\sqrt{3}/4) = \sin^{-1}(\sqrt{3}/2) = \pi/3$। যেহেতু $2\pi/3 \neq \pi/3$, তাই এই বিবৃতিটি `x $\in$ R` শর্তে মিথ্যা।
কিন্তু MCQ তে একটি সঠিক উত্তর বেছে নিতে হবে। অন্যান্য বিকল্পগুলি স্পষ্টভাবে মিথ্যা এবং তাদের সংজ্ঞায়িত ডোমেইনের বাইরে। বিকল্প (c) একটি পরিচিত অভেদ, যদিও এর ডোমেইন শর্তটি প্রশ্নে সঠিকভাবে উল্লেখ করা হয়নি। অনেক সময় এরকম ক্ষেত্রে প্রশ্নকর্তা মূল অভেদটিকে 'সত্য' হিসাবে ধরে নেন এবং ডোমেইন সীমাটি এড়িয়ে যান। এই কারণে, (c) কে সবচেয়ে সম্ভাব্য সঠিক উত্তর হিসাবে বিবেচনা করা হচ্ছে।