ID#4876 Higher Math 2nd CQ (Dhaka 2023)

ক) কোয়ান্টাম সংখ্যা কাকে বলে।

পরমাণুতে অবস্থিত কোনো ইলেকট্রনের শক্তিস্তরের আকার, শক্তিস্তরের আকৃতি, ত্রিমাত্রিক দিক-বিন্যাস এবং ইলেকট্রনের নিজস্ব অক্ষের চারদিকে ঘূর্ণনের দিক সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য যে চারটি সংখ্যা ব্যবহার করা হয়, তাদেরকে কোয়ান্টাম সংখ্যা বলে।

খ) লবণের দ্রাব্যতার ওপর তাপমাত্রা বৃদ্ধির প্রভাব ব্যাখ্যা করো।

লবণের দ্রাব্যতার ওপর তাপমাত্রা বৃদ্ধির প্রভাব লবণটির দ্রবীভূত হওয়ার প্রক্রিয়ার তাপীয় প্রকৃতির (তাপহারী নাকি তাপোৎপাদী) ওপর নির্ভর করে। লা-শাতেলিয়ের নীতি অনুযায়ী এটি ব্যাখ্যা করা যায়:

১. তাপহারী প্রক্রিয়া ($\Delta H > 0$): অধিকাংশ লবণের (যেমন: $\text{KNO}_3$, $\text{KCl}$, $\text{NaCl}$) দ্রাব্যতা তাপমাত্রা বৃদ্ধির সাথে সাথে বৃদ্ধি পায়। কারণ এসব লবণ পানিতে দ্রবীভূত হওয়ার সময় পরিবেশ থেকে তাপ শোষণ করে। ফলে তাপমাত্রা বাড়ালে বিক্রিয়া সামনের দিকে অগ্রসর হয় এবং দ্রাব্যতা বাড়ে।
২. তাপোৎপাদী প্রক্রিয়া ($\Delta H < 0$): কিছু লবণের (যেমন: $\text{Ce}_2(\text{SO}_4)_3$, ক্যালসিয়াম সালফেট) দ্রাব্যতা তাপমাত্রা বৃদ্ধির সাথে সাথে হ্রাস পায়। কারণ এগুলো দ্রবীভূত হওয়ার সময় তাপ উৎপন্ন হয়।
৩. ব্যতিক্রম: গ্লোবার লবণের ($\text{Na}_2\text{SO}_4 \cdot 10\text{H}_2\text{O}$) ক্ষেত্রে তাপমাত্রা $32.4^\circ\text{C}$ পর্যন্ত দ্রাব্যতা বাড়ে এবং এরপর তাপমাত্রা বাড়ালে দ্রাব্যতা হ্রাস পায়, কারণ তখন এটি অনার্দ্র লবণে পরিণত হয়।

গ) কোয়ান্টাম সংখ্যাসমূহের মান হিসেব করে $D$ শক্তিস্তরের ইলেকট্রন সংখ্যা নির্ণয় করো।

উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, $A, B, C, D$ হলো যথাক্রমে হাইড্রোজেন পরমাণুর ১ম, ২য়, ৩য় ও ৪র্থ শক্তিস্তর।
সুতরাং, $D$ শক্তিস্তরের জন্য প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা, $n = 4$।

কোয়ান্টাম সংখ্যার নিয়ম অনুযায়ী $n = 4$ স্তরের উপস্তর ও মোট ইলেকট্রন সংখ্যার হিসাব নিচে টেবিলের মাধ্যমে দেখানো হলো:

প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা ($n$)	সহকারী কোয়ান্টাম সংখ্যা ($l = 0$ হতে $n-1$)	অরবিটালের নাম	চৌম্বক কোয়ান্টাম সংখ্যা ($m = -l$ হতে $+l$)	অরবিটাল সংখ্যা ($2l+1$)	ইলেকট্রন সংখ্যা ($2 \times$ অরবিটাল সংখ্যা)
4	$0$	$4s$	$0$	$1$	$2$
	$1$	$4p$	$-1, 0, +1$	$3$	$6$
	$2$	$4d$	$-2, -1, 0, +1, +2$	$5$	$10$
	$3$	$4f$	$-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$	$7$	$14$
সর্বমোট =				16	32

সুতরাং, কোয়ান্টাম সংখ্যার মান হিসাব করে দেখা গেল $D$ শক্তিস্তরে মোট অরবিটাল সংখ্যা ১৬টি এবং সর্বোচ্চ ইলেকট্রন ধারণক্ষমতা ৩২টি।

উত্তর: $D$ শক্তিস্তরের মোট ইলেকট্রন সংখ্যা $32$।

---

ঘ) উদ্দীপকের ইলেকট্রনটির ধাপান্তরে সৃষ্ট বর্ণালির বর্ণ কীরূপ হবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

উদ্দীপকের চিত্রে তীর চিহ্নটি লক্ষ্য করলে দেখা যায়, ইলেকট্রনটি বহিস্থ উচ্চ শক্তিস্তর $D$ থেকে নিম্ন শক্তিস্তর $A$-তে স্থানান্তরিত হচ্ছে।
এখানে,
নিম্ন শক্তিস্তর, $n_1 = 1$ ($A$ স্তর)
উচ্চ শক্তিস্তর, $n_2 = 4$ ($D$ স্তর)
হাইড্রোজেনের জন্য রিডবার্গ ধ্রুবক, $R_H = 109678 \text{ cm}^{-1} = 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$

আমরা জানি, রিডবার্গ সমীকরণানুসারে বিকিরিত রশ্মির তরঙ্গদৈর্ঘ্য ($\lambda$):
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
$=> \frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right)$
$=> \frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( 1 - \frac{1}{16} \right)$
$=> \frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{15}{16}$
$=> \frac{1}{\lambda} = 1.02844 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$
$=> \lambda = \frac{1}{1.02844 \times 10^7}$
$=> \lambda \approx 9.723 \times 10^{-8} \text{ m}$

আমরা জানি, $1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$
$=> \lambda = 9.723 \times 10^{-8} \times 10^9 \text{ nm}$
$=> \lambda \approx 97.23 \text{ nm}$

বর্ণালির অঞ্চল ও বর্ণ বিশ্লেষণ:
দৃশ্যমান আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সীমা হলো $380 \text{ nm}$ হতে $780 \text{ nm}$।
যেহেতু গণনাঙ্কৃত তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda = 97.23 \text{ nm}$, যা $380 \text{ nm}$ অপেক্ষা ছোট, তাই এই রশ্মিটি দৃশ্যমান অঞ্চলের অন্তর্ভুক্ত নয়। এটি তড়িৎচৌম্বক বর্ণালির অতিবেগুনি (UV) অঞ্চলে (Lyman series) অবস্থিত। অতিবেগুনি রশ্মি মানুষের খালি চোখে ধরা পড়ে না।

উত্তর: উদ্দীপকের ইলেকট্রনটির ধাপান্তরের ফলে সৃষ্ট বর্ণালিটি অতিবেগুনি অঞ্চলের হওয়ায় এর সুনির্দিষ্ট কোনো দৃশ্যমান বর্ণ থাকবে না (এটি অদৃশ্য হবে)।